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\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{}{#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


%% Package utilise pour mettre les quelques exercices des
%% bacannales. Pour faire le figures en ps
%Tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\pagestyle{empty}
\begin{document}

\devcarmen{1èreS}{1}{21 septembre 2010}{1H}
\vspace{-0.5cm}



\exo{}{(3pts)}\par
On considère deux points $A$ et $B$ distincts du plan.
\begin{enumerate}
 \item Exprimer $\vect{AG}$ en fonction de $\vect{AB}$, et montrer ainsi qu'il existe un unique point $G$ tel que :
\[3 \vect{GA}+2 \vect{GB}= \vect{0}\]
$G$ est appelé barycentre des points $(A,3)$ et $(B,2)$.
 \item Pour tout $k$ réel $\neq 0$, montrer que $G$ est aussi barycentre de $(A,3k)$ et $(B,2k)$..
 \item Pour tout point $M$ quelconque, montrer que : $3 \vect{MA}+2 \vect {MB}=5 \vect{MG}$.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(5pts)}\par
$ABC$ est un triangle de centre de gravité $G$ ; $G'$ est le symétrique de $G$ par rapport au milieu $I$ de $[BC]$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $G$ est le milieu de $[G'A]$.
 \item Justifier que : $\vect{G'G}=\vect{G'B}+\vect{G'C}$.
 \item Exprimer $\vect{G'A}$ en fonction de $\vect{G'B}$ et $\vect{G'C}$, puis en déduire que $G'$ est barycentre de $A$, $B$ et $C$ affectés de coefficients à préciser.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4,5pts)}\par
$ABC$ est un triangle ; les points $I$ et $G$ sont tels que : $\vect{BI}=\dfrac{3}{2}\vect{BC}$ et $\vect{AG}=\dfrac{1}{3}\vect{AI}$.
\begin{enumerate}
 \item Justifier que $I$ est barycentre de $(B,-1)$ et $(C,3)$, et $G$ celui de $(A,2)$ et $(I,1)$.
 \item En déduire que $G$ est le barycentre de $(A,4)$, $(B,-1)$ et $(C,3)$. 
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4pts)}\par
$ABC$ est un triangle quelconque avec $AB=6$ et $AC=4$ ; on se propose de trouver l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tels que :
\[\mid\mid -2 \vect{MA}+ \vect{MB}+3 \vect{MC} \mid\mid=6\]   
\begin{enumerate}
\item Utiliser $G$ barycentre de $(A,-2)$, $(B,1)$ et $(C,3)$ pour réduire la somme vectorielle : $-2 \vect{MA}+ \vect{MB}+3 \vect{MC}$.
\item Montrer que ``$M \in \Gamma \Leftrightarrow GM=3$''.
\item En déduire la nature de $\Gamma$ ; placer $G$ et construire $\Gamma$.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(3,5pts)}\par
$ABC$ est un triangle quelconque, $I$ est le milieu de $[BC]$ ; $J$ et $K$ sont les points tels que 
\begin{center} $\vect{AJ}=\dfrac{1}{4} \vect{AB}$ et $\vect{BK}=\dfrac{3}{2} \vect{AC}$.  \end{center}
On considère le repère $(A;\vect{AB},\vect{AC})$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
\item Montrer que $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}