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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0,3cm}
\devoir{1èreS}{11}{9 mai 2011}{1H}



\begin{exercice}
Une machine remplit automatiquement des sachets d'épices. On prélève un échantillon de la production ; 
après pesée, on obtient la distribution des masses de sachets suivante.\par
\vspace*{0,5cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Masse en g & $< 38$ & $< 39$& $< 39,5$ & $< 40$ & $< 40,5$ & $< 41$ & $< 41,5$ & $< 42$ & $< 42,5$ & $< 43$ & $< 43,5$ & $< 44$ \\ \hline
Effectif & 0 & 3 & 8 & 18 & 31 & 51 & 69 & 84 & 84 & 95 & 99 & 100  \\ \hline
 \end{tabular} 
.
\begin{enumerate}
 \item Compléter le nouveau tableau ci-dessous donnant les effectifs par classes.\par
\vspace*{0,3cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Masse en g & $[38;39[$ & $[39;39,5[$ & $[39,5;40[$ & $[40;40,5[$ & $[40,5;41[$  \\ \hline
Effectif & 3 & 5 & 10 & &   \\ \hline
 \end{tabular}
\vspace*{0,3cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Masse en g & $[41;41,5[$ &  $[41,5:42[$ & $[42;42,5[$ & $[42,5;43[$ & $[43;44[$ \\ \hline
Effectif & &  &  &  & 5  \\ \hline
 \end{tabular}
\vspace*{0,3cm}\par
\textit{(on arrondira au dixième)}
 \item Calculer la moyenne de cette série statistique.
 \item Calculer l'écart-type de la distribution des masses des sachets d'épices.
 \item La production de la machine est jugée bonne si la série des mesures de l'échantillon remplit les trois conditions suivantes :\par
- la moyenne $\overline{x}$ appartient à $[40,5;41]$ ;\par
- l'écart-type $s$ est strictement inférieur à 2 ;\par
- au moins 90 $\%$ de l'effectif figure dans $[\overline{x}-2s;\overline{x}+2s]$.\par
La production est-elle bonne ?
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
Dans un repère $\Oij$ du plan, on considère le point $A$ de coordonnées polaires $(2;\dfrac{\pi}{6})$,\par
et les points $B$ et $C$ dont les coordonnées cartésiennes respectives sont $(–\sqrt{3};–1)$ et $(2;0)$.\par
\textit{Dans tout l'exercice, les angles seront donnés avec leur mesure principale.}
\vspace*{0,2cm}

\begin{enumerate}
 \item Calculer les coordonnées polaires du point $B$ : que peut-on dire des points $O$, $A$ et $B$ ?
 \item Soit $I$ le milieu de $[BC]$ ; donner les coordonnées cartésiennes de $I$.
 \item Quelle est la nature du triangle $OBC$ ? En déduire la mesure de l'angle $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OI})$.
 \item Donner les coordonnées polaires de $I$, et en déduire les valeurs exactes de $\cos (-\dfrac{5\pi}{12})$ et $\sin (-\dfrac{5\pi}{12})$.\par
\textit{(il n'est pas demandé de simplifier au maximum $\sin (-\dfrac{5\pi}{12})$)}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
\begin{enumerate}

 \item On donne $\cos a = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $a \in [0;\dfrac{\pi}{2}[$ : calculer $\cos 2a$ et en déduire $a$.
\vspace*{0,2cm}

\item Résoudre sur $[0;2 \pi[$, l'équation $\sqrt{3}+2 \sin (x-\dfrac{\pi}{4})=0$
	 
\vspace*{0,2cm}     
\item En utilisant les formules de duplication, factoriser l'expression : $A(x)=1+\cos 2x + \cos x$ \par
      et résoudre $A(x)=0$ dans $]-\pi;\pi]$.
      
\vspace*{0,2cm}     
\item En utilisant les formules d'addition et de duplication, montrer que pour tout réel $x\neq \dfrac{k\pi}{2}$, avec $k \in \Z$,
\[\dfrac{\sin 3x}{\sin x}-\dfrac{\cos 3x}{\cos x}\] est une constante que l'on précisera.
      
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}