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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0,3cm}
\devoir{1èreS}{9}{8 mars 2011}{1H30}

\begin{exercice}\par
\vspace{0.2cm}
Dans un repère orthonormal $\Oij$, on considère les points $A(-1;-2)$, $B(2;4)$ et $C(6;2)$.\par
\begin{enumerate}
 \item Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$, arrondie au degré.
 \item Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle en $B$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}\par
\vspace{0.2cm}
\begin{minipage}{12cm}
$EFGH$ est un rectangle avec $EH=2$ et $EF=3$. $M$ est le milieu de $[FG]$,\par
et $K$ est défini par $\overrightarrow{HK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{HG}$ ;  $L$ est le projeté orthogonal de $K$ sur $(EM)$.
\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\overrightarrow{EK}.\overrightarrow{EM}=5$\par
 (décomposer chaque vecteur par la relation de Chasles).
 \item En écrivant le produit scalaire $\overrightarrow{EK}.\overrightarrow{EM}$ de deux manières différentes, déterminer :
	\begin{enumerate}
	\item la longueur $EL$
	\item une mesure de l'angle $\widehat{KEM}$  en radians
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hspace {1cm}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}  \includegraphics{./produit_scalaire.2} \end{center}
\end{minipage}
\end{exercice}



\begin{exercice}\par
\vspace{0,2cm}
Soient deux points du plan $A$ et $B$ tels que $AB=6$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer l'ensemble $\cale_{1}$ des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=10$
       \item Déterminer l'ensemble $\cale_{2}$ des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=-12$
      \end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer l'ensemble $\calf_{1}$ des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0$
       \item Déterminer l'ensemble $\calf_{2}$ des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-9$
       \item Déterminer l'ensemble $\calf_{3}$ des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=1$
      \end{enumerate}
 
\item Construire tous les ensembles sur une même figure.
\end{enumerate}
\end{exercice}





\begin{exercice}\par
\vspace{0,2cm}
\begin{minipage}{10cm}
$ABCD$ est un carré de côté 1,\par
et $M$ est un point de la diagonale $[BD]$.\par
On note $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(AD)$,\par
et $Q$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.\par
\vspace{0,2cm}
Le but est de montrer que les droites $(CP)$ et $(DQ)$\par
sont perpendiculaires.
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm} \begin{center}  \includegraphics[scale=0.7]{figureex3.eps} \end{center}
\end{minipage}

\vspace{0,4cm}
\textbf{Première méthode :} Dans le repère orthonormal $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$, on pose $\overrightarrow{DM}=x\overrightarrow{DB}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure.
\item Calculer $\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{DQ}$ et conclure.
\end{enumerate}

\vspace{0,2cm}
\textbf{Deuxième méthode :}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\overrightarrow{DP}.\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AQ}.\overrightarrow{AB}$
\item En déduire que $\overrightarrow{CP}.\overrightarrow{DQ}=0$ et conclure.
\end{enumerate}

\end{exercice}











\end{document}