\documentclass[11pt,twoside]{article}
\usepackage{carmenlfbis}
%\usepackage{a4lfb}

\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{twoside,hmargin=1.5cm,vmargin={0cm,1cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includefoot}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}

%Pour compiler les figure en pdflatex

\usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi


\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0.3cm}
\devoir{1èreS}{10}{18 avril 2012}{2h}
\vspace*{-0.3cm}


\begin{exercice}[(5 points)]
Le cycle des feux tricolores aux carrefours est le suivant:
\begin{itemize}
\item l'événement $V$ : \og Le feu est vert\fg  dure 20 secondes.
\item l'événement $O$ : \og Le feu est orange\fg  dure 5 secondes.
\item l'événement $R$ : \og Le feu est rouge\fg  dure 35 secondes.
\end{itemize}

Le temps total d'un cycle est donc de 1 min.


\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(V)$.
\item Un automobiliste rencontre successivement trois feux tricolores fonctionnant de manière indépendante.\par
Dresser un arbre pondéré illustrant la situation.
\item Calculer la probabilité des événements suivants:
      \begin{enumerate}
      \item A:\og l'automobiliste rencontre trois feux verts\fg
      \item B:\og l'automobiliste rencontre un feu vert, un feu rouge et un feu orange dans cet ordre\fg
      \item C:\og l'automobiliste rencontre au moins un feu vert\fg
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(6 points)]
Un QCM (questionnaire à choix mutiples) est composé de cinq questions numérotées de 1 à 5.\par
Pour chacune d'elles, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte.\par
\medskip

\textbf{Partie A :}\par
Un candidat répond à ce QCM, en cochant, au hasard et de façon indépendante, chacune des 5 questions.\par
On décide de donner au candidat un point par réponse exacte.\par
Soit $X$ la variable aléatoire associant aux réponses du candidat la note obtenue sur 5.\par

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et en préciser les paramètres.
\item Quelle est la probabilité qu'un candidat obtienne la note maximale ?

\item Etablir la loi de probabilité de $X$ en complétant le tableau ci-dessous en donnant les valeurs exactes, puis arrondies au millième :\par
\medskip
\begin{small}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
valeurs $x_i$ & 0 & & & & & \\
\hline
\phantom{$p(X=x_i)$} & \phantom{$0,75^5$} & \phantom{$5\times 0,25\times 0,75^4$} &
\phantom{$\begin{pmatrix} 5\\ 2\\ \end{pmatrix} \times 0,25^2 \times 0,75^3$} &
\phantom{$\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ \end{pmatrix}\times 0,25^3\times 0,75^2$ } &
\phantom{$5\times 0,25^4\times 0,75$} & \phantom{$ 0,75^5$} \\
\hline
\end{tabular}\end{small}
\medskip

\item Quelle est la probabilité qu'un candidat obtienne plus de la moyenne ?
\item Quelle note le candidat peut-il espérer obtenir (c'est-à-dire quelle note moyenne obtiendrait-il\par
s'il remplissait au hasard un très grand nombre de QCM)?
\end{enumerate}


\textbf{Partie B :}\par
On suppose que $n$ candidats ($n$ entier non nul) répondent à ce QCM, et que tous le font au hasard,\par
indépendamment des autres.

\begin{enumerate}
\item Exprimer en foncion de $n$.la probabilité $p_n$ qu'au moins un candidat obtienne la note 5.
\item Pour quelles valeurs de $n$ cet événement se produira-t-il avec une probabilité supérieure à 0,99 ?
\end{enumerate}

\end{exercice}


\newpage
\vspace*{1cm}
\begin{exercice}[(5 points)]
Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$ dans chacun des 5 cas suivants:

\begin{center}  \includegraphics{./produitscalaire.eps} \end{center}
%\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig1bis} \end{center}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(4 points)]
\begin{minipage}{12cm}
$ABCD$ est un rectangle, $I$ est un point de $[DC]$ défini comme l'indique la figure ci-contre.
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $(\vect{ID}+\vect{DA}).(\vect{IC}+\vect{CB})=\vect{ID}.\vect{IC}+DA^2$
\item Calculer les longueurs $AI$ et $BI$.

En déduire que : $\vect{IA}. \vect{IB} =6$ et que $cos (\widehat{AIB})=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
\item Donner la mesure de l'angle $\widehat{AIB}$  en degrés à 0,1 degré  près.

\end{enumerate}

\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm} \includegraphics{./produitscalairebis.eps} 
%\includegraphics[scale=0.6]{fig2}
\end{minipage}
\end{exercice}
\vspace{2cm}



\textbf{Complément de l'exercice 2 : Partie C :}\par
Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard, on décide de toujours accorder 1 point\par
par réponse exacte, mais cette fois d'enlever 0,2 point par réponse inexacte.\par
Soit $Y$ la nouvelle variable aléatoire associant aux réponses du candidat la note obtenue sur 5.\par

\begin{enumerate}
\item Prouver qu'avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire $Y$ s'exprime par $Y=1,2X-1$..
\item En déduire la probabilité qu'un candidat obtienne une note négative, une note au-dessus de la moyenne.
\item Quelle note le candidat peut-il espérer obtenir ? L'objectif vous parait-il atteint ?
\end{enumerate}
\medskip




\end{document}