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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0.3cm}
\devoir{1èreS}{3}{9 novembre 2011}{2h}


\begin{exercice}[(5,5 pts)]
Dans un repère orthonormé, on donne la droite $(d)$ d'équation $2x-3y+6=0$, le point $A(1;7)$\par
et le vecteur $\vect{v}(2;-3)$.

\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, tracer $(d)$, placer $A$ et construire $\vect{v}$.
\item Donner les coordonnées d'un vecteur $\vect{u}$ directeur de $(d)$.
\item Construire le vecteur $\vect{w}$ (laisser les traces de la construction) défini par $\vect{w}=2\vect{u}-\dfrac{1}{2}\vect{v}$.\par
\textbf{Calculer} ensuite les coordonnées de $\vect{w}$.
\item $\vect{v}$ et $\vect{w}$ sont-ils colinéaires?
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d')$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vect{v}$, puis la tracer.
\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $(d')$.
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d'')$ parallèle à $(d)$ passant par $A$ puis tracer $(d'')$.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(4,5 pts)]\par
\begin{minipage}{9cm}
On donne trois carrés ABGH, BCFG et CDEF.\par
I est le milieu de $[AG]$,\par
et J est le point d'intersection de $(AE)$ et $(BG)$.\par
Montrer que $C$, $I$ et $J$ sont alignés.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\includegraphics[scale=0.6]{fig1}
\end{minipage}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(4 pts)]
Le plan est muni d'un repère orthogonal.

On considère l'ensemble $D_m$ des points $M(x;y)$ dont les coordonnées vérifient la relation \[mx+(2m-1)y+4=0\] avec $m$ réel.

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'ensemble $D_m$ est une droite.
\item Pour quelles valeurs de $m$ $D_m$ est-elle parallèle à l'un des axes du repère?
\item Donner une équation des droites $D_0$ et $D_1$ puis déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
\item Montrer que $D_m$ passe par un point fixe quelque soit la valeur du réel $m$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice} [(6 pts)]
On considère le triangle $ABC$ donné en annexe. On complètera la figure au fur et à mesure.
\begin{enumerate}
 \item Soit $G$ le point défini par $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AB}$ :
 montrer que $\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}$.
 \item Soit $H$ le point tel que $2\overrightarrow{HB}+3\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$ :
 montrer que $\overrightarrow{BH}=\dfrac{3}{5} \overrightarrow{BC}$.
 \item Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ :
 exprimer $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$
 \item Soit $L$ le point tel que $\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{0}$.
    \begin{enumerate}
     \item Montrer que $\overrightarrow{AL}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AC}$.
     \item Montrer que $L$ est le milieu de $[GC]$.
    \end{enumerate}
 \item Montrer que $L$, $A$ et $H$ sont alignés.
 \item Montrer que $L$ appartient à la droite $(KB)$.
 \item Que peut-on dire des droites $(GC)$, $(HA)$ et $(KB)$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage
\vspace*{1cm}


Fin du contrôle

A rendre pour mardi 15/11

Dans le cas de \og conditions de Gauss\fg, les règles de construction de rayons lumineux émergents d'une lentille convergente de foyers F et F'
 et de centre optique O sont les suivantes:

\begin{itemize}
\item Les rayons passant par le centre O ne sont pas déviés.
\item Les rayons parallèles è l'axe (FF') émergent selon des rayons passant par le foyer image F'.
\item Les rayons passant par le foyer F émergent selon des rayons parallèles è l'axe (FF')
\end{itemize}
L'image  A'B' ainsi obtenue d'un objet AB placé parallèlement è la lentille est ainsi obtenue:

\includegraphics[scale=1]{./optique.jpg}

La distance focale $f$ de la lentille est la distance entre centre optique-foyer: $f=OF=OF'$

On considère le repere orthonormé d'origine O selon le schéma ci-dessus.

On note $f$ l'abscisse du foyer F' et le point A n'est pas placé en O ($x_A\neq 0$)

\begin{enumerate}
\item Justifier que (OB) admet pour équation réduite $y=\dfrac{y_B}{x_A}x$
\item Justifier que le vecteur $\vect{FB}$ a pour coordonnées $(f+x_A;y_B)$ puis déterminer une équation cartésienne\par de la droite (BF).
\item En déduire les coordonnées du point B', puis du point A' en fonction de $x_A$.
\item Justifier alors la relation de conjugaison pour une lentille: $\dfrac{1}{x_A}-\dfrac{1}{x_A'}=\dfrac{1}{f}$
\end{enumerate}


\newpage
\vspace*{1cm}

\begin{center}
\textbf{Annexe exercice 1}\par
\vspace*{1cm}
\includegraphics[scale=0.8]{repere}
\end{center}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{Annexe exercice 4}

\includegraphics[scale=1]{./exo4.png}
\end{center}





\end{document}