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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}

%Pour compiler les figure en pdflatex

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     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi


\pagestyle{empty}
\begin{document}

\vspace*{0.3cm}
\devoir{1èreS}{7}{25 janvier 2012}{1h}
\vspace*{-0.3cm}


\begin{exercice}[(10 points)]
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par  : \[ f(x)=2-\dfrac{2(1-x)}{x^2+1}\]
On note $\calc_f$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}

\item \begin{enumerate}
      \item Calculer $f'(x)$ ; vérifier que $f'(x)=\dfrac{-2(x^2-2x-1)}{(x^2+1)^2}$.
      \item Etudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.\par
      On ne demande pas les valeurs exactes des extremums mais une valeur arrondie aux centièmes.
      \end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc_{f}$ au point $A$ d'abscisse $1$.
\vspace{0.2cm}

\item On veut montrer qu'il existe un point $B$ de $\calc_f$ tel que la tangente à $\calc_f$ en $B$ soit parallèle\par à la droite $\Delta$ d'équation $y=-x$.
      \begin{enumerate}
      \item Montrer que le problème revient à résoudre l'équation $x^4+4x+3=0$.
      \item Vérifier que $x^4+4x+3=(x+1)^2(x^2-2x+3)$.
      \item Conclure.
      \end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item Construire la courbe $\calc_f$ dans le repère ci-dessous ainsi que ses tangentes.
\vspace{0.2cm}
\begin{center} \includegraphics{./repere.eps} \end{center}
\vspace{0.2cm}

\textbf{L'exercice nº1 s'arrête ici pour le devoir : questions complémentaires à faire à la maison}
\item Résoudre $f(x)=0$ et interpréter graphiquement.
\vspace{0.2cm}

\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre $\calc_{f}$ et la droite $\cald$ d'équation $y=2$,\par
puis la position relative entre $\calc_{f}$ et $\cald$. Tracer $\cald$.
\vspace{0.2cm}

\item Démontrer que la fonction $f$ est minorée par $-1$ sur $\R$, c'est-à-dire que $f(x)>-1$ pour tout $x \in \R$.

\end{enumerate}
\end{exercice}



\newpage
\vspace*{1cm}
\begin{exercice}[(10 pts)]
\begin{minipage}{14cm}
Un chocolatier veut faire fabriquer une nouvelle boîte de présentation pour Pâques. 
Elle aura la forme d'un prisme droit dont deux des faces sont deux rectangles\par de 20 cm de longueur sur 5 cm de largeur.\par
Une section de ce prisme par un plan perpendiculaire à la face $BCDE$ est le triangle $ABC$ isocèle en $A$. 
La longueur $BC=x$ représente l'écartement entre les deux rectangles.\par
Le but du problème est de déterminer $x$ tel que le volume de cette boîte soit le plus grand possible.
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{./lapin.eps}\end{center}
\end{minipage}
\vspace{0.2cm}
\begin{center} \includegraphics{./prisme.eps} \end{center}


\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Quelles sont les valeurs possibles pour $x$ ?
      \item Exprimer l'aire du triangle $ABC$ en fonction de $x$.
      \item Exprimer le volume $V$ du prisme en fonction de $x$.
      \end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item Soit la fonction $f$ définie sur $[0;10]$ par  : $f(x)=x^2(100-x^2)$
      \begin{enumerate}
      \item Etudier le sens de variation de $f$.
      \item Pour quelle valeur de $x$, $f$ admet-elle un maximum ?
      \end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item \begin{enumerate}
        \item Vérifier que $V(x)=5\sqrt{f(x)}$.
	\item En utilisant les variations de $f$, déterminer les variations de la fonction $V$ sur $[0;10]$.
	\item En déduire les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume et donner la valeur de ce volume maximal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}





\end{document}