\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}

 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº10 - Suites - 1S}}  \end{center}
\begin{center}  \large{9 mai 2014 - 2 h}  \end{center}


\exo{}{(2 pts)}
\begin{enumerate}
\item $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$ telle que $v_2=-18$ et $v_4=-162$.\par
      Déterminer $q$ et $v_0$.
\medskip
\item Calculer la somme $S= 4 + 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{32768}$ en justifiant.
            
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(2.5 pts)}\par
On désire décorer l'encolure d'un bustier avec des rangées de perles dont on veut déterminer le nombre.\par
Le 1er rang comporte 78 perles, le 2ème rang comporte 74 perles, le 3ème rang comporte 70 perles... et ainsi de suite. 
La dernière rangée comporte 10 perles.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le rang $N$ correspondant à cette dernière rangée.
\item Calculer le nombre total de perles nécessaires pour décorer le bustier.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4 pts)} Etudier les variations des suites suivantes :
\begin{enumerate}
  \item $(u_n)$ définie par $u_n=2n^2-3n-2$ pour $n \in \N$. \vspace{0.2cm}
  \item $(v_n)$ définie par $v_n=1+\dfrac{1}{n+1}$ pour $n \in \N$. \vspace{0.2cm}
  \item $(w_n)$ définie par $w_n=\dfrac{3n-1}{2-5n}$ pour $\in \N$.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4.5 pts)} Soit $(u_n)$ une suite définie sur $\N$ par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{2+3u_n}$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$ et $u_2$ : la suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
  \vspace{0.2cm}
  \item On suppose que pour tout entier $n$, on a $u_n\neq 0$, et on définit la suite $(v_n)$ par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$.
	\begin{enumerate}
	 \item Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.
	 \item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, et en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}

  \item Etudier la monotonie  de la suite $(u_n)$. \vspace{0.2cm}
  \item Montrer que pour tout $n \in \N$, on a $0< u_n \leq 1$.
\end{enumerate}
\finexo



\newpage
\exo{}{(7 pts)}
On effectue un coloriage en plusieurs étapes d'un carré de côté de longueur 2~cm. 

\begin{minipage}{12cm}
\textbf{Première étape du coloriage :}\par
On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure.\par
(la figure n'est pas en vraie grandeur). 
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(4,4)
\psline(2,0)(2,4) \psline(0,2)(4,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\vspace{0.3cm}

\begin{minipage}{12cm}
\textbf{Deuxième étape du coloriage :}\par
On partage chaque carré non encore colorié en quatre carrés de même aire et on colorie dans chacun, 
le carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur la figure.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(4,4)
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(0,\n)(4,\n)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,2)(1,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)(3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\medskip 

\textbf{On poursuit les étapes du coloriage en continuant le même procédé.}\par
\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on désigne par $A_{n}$ l'aire,\par
exprimée en cm$^2$, de la surface totale coloriée après $n$ coloriages.
 
On a ainsi $A_{1} = 1$. 

La surface coloriée sur la figure à la 2\up{e} étape du coloriage a donc pour aire $A_{2}$.
\medskip
 
\textbf{Les deux parties suivantes A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
\medskip

\textbf{Partie A :}\par
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A$_{2}$ puis montrer que A$_{3} =\dfrac{37}{16}$.  	 
\item  On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{l | l}
\multicolumn{1}{l}{Entrée : }&P un entier naturel non nul. \\
\multicolumn{1}{l}{Initialisation:}& N = 1  ; U = 1. \\
\multicolumn{1}{l}{~}				&~\\
Traitement : 	          & Tant que N $\leqslant$ P : \\
								&Afficher U \\
								&Affecter à N la valeur N $+ 1$ \\
								&Affecter à U la valeur $\dfrac{5}{4} \times \text{U} +\dfrac{1}{2}$\\
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner cet algorithme avec P $= 3$. 
		\item Cet algorithme permet d'afficher les P premiers termes d'une suite U de terme général U$_{n}$.
	 
Dire si chacune des deux propositions suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1 : Il existe un entier naturel $n$ strictement supérieur à 1 tel que U$_{n} = \text{A}_{n}$. 
\item[] Proposition 2 : Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, U$_{n} = \text{A}_{n}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B :}

On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, A$_{n+1} = \dfrac{3}{4}\text{A}_{n} + 1$. 
\begin{enumerate}
\item Que faut-il modifier dans l'algorithme pour qu'il affiche le terme $A_n$ pour $n$ entier naturel donné.
\medskip

\item  On pose pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, B$_{n} = \text{A}_{n}  - 4$. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $(B_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$. 
	\item Exprimer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, le terme général $\text{B}_{n}$ en fonction de $n$,\par et en déduire celui de $A_n$. 
	\end{enumerate}
\item Quel est le comportement de A$_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? Justifier la réponse.\par
      Donner une interprétation de ce résultat en rapport avec l'aire de la surface coloriée.

\item Comment transformer l'algorithme pour qu'il affiche le plus petit entier $n$ tel que $A_n>3.99$.\par
      A l'aide de la calculatrice, déterminer cet entier $n$.
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}