\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}+++
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº10 - Produit scalaire et Probabilités - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{21 février 2020 - 1h}  \end{center}


\exo{}{(3 pts)} Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Noter sur la copie le numéro de la bonne réponse.
\begin{enumerate}
\item  $A$ et $B$ sont deux événements  tels que $p(A)=0,3$,~ $p(B)=0,4$ et $p(A\cup B)=0,5$\\

1.~~$p(A\cap B)=0,12$~~~~~~~~~~~~~~~~2.~~$P(A\cap B)=0,2$~~~~~~3.~aucune des deux réponses 1 et 2 ne convient\\

\item $A$ et $B$ sont deux événements indépendants tels que $p(A)=0,3$ et $p(B)=0,2$ \\

1.~~$p(A\cap B)=0,06$~~~~~~~~~~~~~~~~2.~~$P(A\cap B)=0,5$~~~~~~3.~aucune des deux réponses 1 et 2 ne convient\\

\item On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces.\\
      La probabilité d'obtenir 2 puis 6 est\\

1.~~$\dfrac{1}{6}$~~~~~~~~~~~~~~~~2.~~$\dfrac{1}{36}$~~~~~~3.~aucune des deux réponses 1 et 2 ne convient
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(6 pts)} Une enquête a montré que :
\begin{itemize}
\item avant de passer l'épreuve théorique du permis de conduire (c'est-à-dire le code), 75\,\% des candidats ont travaillé très sérieusement cette épreuve,
\item lorsqu'un candidat a travaillé très sérieusement, il obtient le code dans 80\,\% des cas,
\item lorsqu'un candidat n'a pas beaucoup travaillé, il n'obtient pas le code dans 70\,\% des cas.
\end{itemize}


On interroge au hasard un candidat qui vient de passer l'épreuve théorique (on rappelle que les résultats sont connus dès la fin de l'épreuve).

On note T l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement \fg

et R l'évènement \og le candidat a réussi le code \fg.

Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies éventuellement au millième.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Traduire les données à l'aide d'un arbre pondéré.\\

\item \begin{enumerate} 
	\item Calculer la probabilité de l'évènement \og le candidat a travaillé très sérieusement et il a obtenu le code \fg.
	\item Montrer que la probabilité $p$(R) qu'un candidat réussisse à l'épreuve théorique est égale à $0,675$.\\
	\end{enumerate}
	
\item Le candidat interrogé vient d'échouer. Quelle est la probabilité qu'il ait travaillé très sérieusement ?\\

\item À la sortie de l'épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats (on suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise).\\

      Calculer la probabilité $p_3$ d'interroger  une personne sur les 3 ayant échoué à l'épreuve.\\
      On pourra utiliser un arbre en notant $R_1$ l'événement "le premier candidat interrogé a échoué ", $R_2$ l'événement "le deuxième candidat interrogé a échoué " et $R_3$ l'événement "le troisième candidat interrogé a échoué "
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(5 pts)}\\
\begin{minipage}{12cm}
$ABCD$ est un carré.\\
$I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ est le milieu de $[AD]$\\ et $K$ milieu de $[ID]$.\\
On admet que $AKI$ est isocèle en $K$.\\

Montrer que les droites $(AK)$et $(BJ)$ sont perpendiculaires.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{./fig2.jpg} \end{center}
\end{minipage}
\finexo


\exo{}{(6 pts)} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A$ et $B$ tels que $AB=5$ et $I$ est le milieu de $[AB]$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}=6$
\item $k$ est un  nombre réel et $I$ est le milieu de $[AB]$.\\
      On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}=k$
      \begin{enumerate}
      \item Montrer que pour tout point $M$ du plan on a  $\overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}=k\Longleftrightarrow MI^2=\dfrac{4k+25}{4}$.
      \item En déduire les valeurs de $k$ pour lesquelles l'ensemble $\mathcal{E}$ est un cercle.
      \item Déterminer la valeur  de $k$ pour laquelle l'ensemble $\mathcal{E}$ est réduit à un point.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo




\exo{}{(Bonus)} Démontrer le théorème de la médiane dans un triangle $ABM$\\ avec $I$ milieu de $[AB]$
\finexo

\end{document}