\documentclass[10pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº5 - Dérivation - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{23 novembre 2021 - 1h}  \end{center}



\exo{}{(5 pts)} Ce QCM comprend 5 questions.\\
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.\\
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée mais il peut être nécessaire d'effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.\\
Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire de point.\\


\textbf{Question 1 :} On se place dans un repère orthonormé du plan.\\
Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative notée $C$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$.\\
La droite $D$ est tangente à la courbe $C$ au point $A(5~;~0)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(8,5.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.4pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-6,-2)(8,5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{8}{x 4 add x 6 sub mul x 4 exp 1 add div 0.25 sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{-4.9}{2}{4 x 3 exp 3 div x dup mul 2.5 mul add 4 x mul add 3 mul 26 div sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{8}{x 4 add x 5 sub mul x dup mul  9 x mul add 0.25 sub mul 2.7182 0.0001 x mul exp div}%   5 div neg 
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-5}{8}{5 3 div x 3  div sub}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-4.85,5)(-4.82,4)(-4.7,3)(-4.5,1)(-4,0)(-3,1.3)(-2,3.75)(-1,4.4)(0,4)(1,3.1)(2,2)(3,1.1)(4,0.45)(5,0)(6,-0.25)(7,-0.35)(8,-0.4)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-4.85,5)(-4.5,1)(-4.6,0.4)(-4,0)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-4,0)(-2.5,0.1)(-3,4)(-1,4.35)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1,4.35)(2,3.8)(2.25,0.6)(5,0)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=red](5,0)(7,-0.6)(8,-1)(8,-1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$, Alors $f'(5)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$3$&\textbf{b.~~}$- 3$&\textbf{c.~~}$\dfrac{1}{3}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&\textbf{d.~~}$- \dfrac{1}{3}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\medskip
\textbf{Question 2 :} Avec la fonction de la question 1. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$f'(-3)=1$&\textbf{b.~~}$f'(- 3)>0$&\textbf{c.~~}$f'(-3)<0$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}&\textbf{d.~~}$f'(-3)=0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 3 :} Soit la fonction $f$ définie pour tout $x \in ]0;+\infty[$ par : $f(x) = -8\sqrt{x}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$f'(4) =-4 $&\textbf{b.~~}$f'(4) =-2 $&\textbf{c.~~}$f$ croissante&\textbf{d.~~}$f'(4) =-16 $\rule[-3pt]{0mm}{7mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 4 :} Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x^3 - 4x + 5$.\\
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $g$ dans un repère orthonormé au point d'abscisse $- 1$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.~~}$8$&\textbf{b.~~}$-7$&\textbf{c.~~}$-1$&\textbf{d.~~}$- 0,5$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
\textbf{Question 5 :} Soit $f$ une fonction telle que, pour tout nombre réel $h$ non nul,
\[\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} =  h^2 + 3h - 1.\]
Alors $f'(1)$ est égal à :\\

\textbf{a.~~} $h^2 + 3h - 1$\\
\textbf{b.~~} $- 1$\\
\textbf{c.~~} 3\\
\textbf{d.~~} les données sont insuffisantes pour déterminer $f'(1)$.
\finexo

\newpage
\exo{}{(7 pts)} Un industriel souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'une plaque de métal de
$18$~cm de largeur et de $24$~cm de longueur. Pour cela, il enlève des carrés dont la longueur du côté mesure $x$ cm aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement pour fermer les côtés.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(16,7)
%\psgrid
\psframe(1,1)(7,5)
\pspolygon[linestyle=dashed,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,2)(1,4)(2,4)(2,5)(6,5)(6,4)(7,4)(7,2)(6,2)(6,1)(2,1)(2,2)
\psline{<->}(6,0.5)(7,0.5)\uput[d](6.5,0.5){$x$}
\psline{<->}(7.4,1)(7.4,2)\uput[r](7.4,1.5){$x$}
\psline{<->}(0.3,1)(0.3,5)\psline{<->}(1,5.6)(7,5.6)
\uput[l](0.3,3){18}\uput[u](4,5.6){24}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10,1)(14,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](14,1)(16,2.8)(16,3.8)(14,2)
\psline(10,2)(12,3.8)(16,3.8)
\psline(12,3.8)(12,2.8)(14.85,2.8)
\psline(11,2)(12,2.8)
\psarc[linewidth=0.15cm]{<-}(8.5,0){3}{70}{110}
\end{pspicture}
\end{center}

Le volume de la boîte ainsi obtenue est une fonction définie sur l'intervalle [0~;~9] notée $V(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~9] : $V(x) = 4x^3 - 84x^2 + 432x$.
\medskip
\item On note $V'$ la fonction dérivée de $V$ sur [0~;~9]. Donner l'expression de $V'(x)$ en fonction de $x$.
\medskip
\item Dresser alors le tableau de variations de $V$ en détaillant la démarche.
\medskip
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la contenance de la boîte est-elle maximale ?
\medskip
\item L'industriel peut-il construire ainsi une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à $650$ cm$^3$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(8 pts)} La fonction $f$ est définie sur $]-1~;~+\infty[$ par :
\[f(x) =\dfrac{ x^2 + 3}{x + 1}\]

On se place dans un repère orthonormé du plan.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]-1~;~ +\infty[$:
\[f'(x) =\dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}\]
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-1~;~+\infty[$.
\medskip
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
\medskip
\item Compléter le tracé de la courbe donné dans le repère ci-dessous et tracer T.
\medskip
\item Étudier la position relative de la courbe représentative de $f$ et de la droite d'équation $y = -3x+3$.
\end{enumerate}
\finexo

\begin{center}  \includegraphics[scale=0.5]{courbe.eps} \end{center}



\end{document}
