\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
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  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº7 - Fonctions - Probabilités - Suites - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{9 mars 2023 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(2 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{2x + 4}{3}$.\\

\begin{minipage}{8cm}
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \N$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&1\\
u_{n+1} &=&f(u_n)
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item On a tracé ci-contre, la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur $\R$,\\
et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.\par
Sur le graphique, placer sur l'axe des abscisses, $u_{0},\:u_{1},\:u_{2},\:u_{3}$ et $u_{4}$.\par
Faire apparaître les traits de construction.
\medskip      
\item Que peut-on conjecturer sur le sens de\\ variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? sur sa limite ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(5,5)
\psset{xunit=1.25cm,yunit=1.25cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(5,5)
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{5.0}{0.667*x+1.333}
\psplot{-1}{5}{(-0--1*x)/1}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[ul](4.5,3.5){$\mathcal{D}$}\uput[d](3.5,4.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}\end{center}
\end{minipage}
\finexo


\exo{}{(8 pts)} Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité\index{probabilité} qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe\\.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent 
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité de $0,04$. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité de $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip
\begin{enumerate}

\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre\index{arbre de probabilités} de probabilité.
	\smallskip
	\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate} 
\medskip
\item \begin{enumerate}
	\item Compléter l'arbre\index{arbre de probabilités} de probabilité donné ci-dessous
	\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
	\end{center}

	\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,  $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$.
	\smallskip
	\item Montrer que la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $q$.
	\smallskip
	\item En déduire que $p_{n}=0,05-0,05 \times (0,2)^{n-1}$ pour $n \in \N^*$.
    \smallskip
    \item Déterminer les variations de la suite $\left(p_{n}\right)$.
    \smallskip
	\item Quelle semble être la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ ? Interpréter dans le contexte de l'exercice.
    \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(4,5 pts)} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^3+3x^2-2x-6$.

\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Déterminer sa fonction dérivée $f'$.
        \smallskip
        \item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$ (on ne demande pas les limites).
        \end{enumerate}
\medskip
\item Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n}=-n^3+3n^2-2n-6$ pour $n \in \N$.
        \begin{enumerate}
        \item Calculer $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$.
        \smallskip
        \item Étudier les variations de la suite $(u_{n})$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}        
\finexo


\exo{}{(5,5 pts)} Soit $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{-2\}$ par $f(x)=\dfrac{3x-2}{x+2}$,\\
et soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^2+2x-1$.\\
On note $\calc_f$ et $\calc_g$ les courbes représentatives de ces deux fonctions représentées ci-dessous.

\medskip
\begin{enumerate}
 \item Etudier la fonction $f$ et représenter son tableau de variation (on ne demande pas les limites).
 \medskip
 \item Etudier la fonction $g$ et représenter son tableau de variation (on ne demande pas les limites).
 \medskip

\begin{minipage}{11cm}
\item Il semble, d'après le graphique, que $\calc_f$ et $\calc_g$ ont une tangente commune en $a=0$.
    \begin{enumerate}
    \item Déterminer l'équation de la tangente ($\calt$) à $\calc_f$\\ au point d'abscisse 0.
    \item Déterminer l'équation de la tangente ($\mathscr{T'}$) à $\calc_g$\\ au point d'abscisse 0.
    \item Conclure
    \end{enumerate}
    \end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{fonctions.eps} \end{center}
\end{minipage}
\medskip
\item (Bonus : )\begin{enumerate}
        \item Montrer que pour tout $x\neq -2$ on a \[ f(x)-g(x)=\dfrac{-x^3-4x^2}{x+2} \]
        \item Déterminer alors la position de relative de $\calc_f$ et $\calc_g$.
        \end{enumerate}
\medskip
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}
