\documentclass[10pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº8 - Fonction Exponentielle - Probabilités - Suites - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{28 mars 2023 - 1h}  \end{center}



\exo{}{(6 pts)} Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l'entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

\medskip

On estime que :
\begin{itemize}
\item lorsqu'une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu'elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
\item lorsqu'une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu'elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.
\end{itemize}

\smallskip

On s'intéresse à l'état d'une trottinette lors des phases de contrôle.

Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l'évènement \og la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service\fg{} et $p_n$ la probabilité de $B_n$.

Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B_n$~}\taput{$p_n$}}
{\TR{$B_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{B_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{B_n}$~}\tbput{\ldots}}
{\TR{$B_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{B_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}}
\end{center}

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
\smallskip
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = p_n - 0,8$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
		\item En déduire l'expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
		\item Quelle semble être la limite de la suite $\left(p_n\right)$ ? Interpréter dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(5,5 pts)} Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets, où $x \in [0;40]$.\\
On suppose que toute la production de l'entreprise est vendue, et que le bénéfice, en milliers d'euros, de cette entreprise, peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0;40]$ par
\[f(x)=(10x-10)\text{e}^{-0,1x}\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer la perte de l'entreprise lorsqu'il n'y a pas de production.
\smallskip
\item Quelle doit être la production de l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal ? Quel sera alors le montant de ce bénéfice ?
\smallskip
\item A partir de quelle quantité produite et vendue, l'entreprise réalise un bénéfice ? 
\end{enumerate}
\finexo



\newpage
\exo{}{(4,5 pts)} On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par :
\[f(x) = (ax+b)\text{e}^{cx^2}\]
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.\\

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; elle passe par le point $A$ de coordonnées (0,5~;~1).

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.


\medskip
\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$, $f'(0)$ et $f'(1)$.
\smallskip
\item Montrer que $f'(x)=(2acx^2+2bcx+a)\text{e}^{cx^2}$.
\smallskip
\item Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$. 
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(3.2,1.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=gray](0,0)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.2,1.8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{2 x  mul 2.71828 x dup mul 0.5 mul exp div}
\psline(0.8,1.6)
\psline{<->}(0.7,1.22)(1.3,1.22)
\psline(1.3,1.16)(2.3,0.27)
\uput[u](2.8,0.12){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](1.2,1.22){$T$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](1.732,0.773)(0.5,1)
\uput[ul](0.5,1){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}


%On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur [0~;~25] par : \[f(x) = (ax + b)%\text{e}^{- 0,2x}\]
%où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
%On a représenté également sa tangente $T$ au point A(0~;~7). $T$ passe par le point B(2~;~14,2).
%\begin{center}  \includegraphics[scale=0.4]{courbe_parametres.eps} \end{center}
\finexo


\exo{}{(6 pts)}

\medskip
\textbf{Partie A :} Soit la fonction $g$ définie sur $[0;\pI[$ par $g(x)=\text{e}^x-x\text{e}^x+1$.

\begin{enumerate}
\item Etudier les variations de la fonction $g$.
\smallskip
\item A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée au centième, du réel $\alpha$, solution de l'équation $g(x)=0$.
\smallskip
\item En déduire le tableau de signes de $g(x)$.
\smallskip
\item Montrer que $\text{e}^\alpha=\dfrac{1}{\alpha-1}$.
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B :} Soit la fonction $f$ définie sur $[0;\pI[$ par $f(x)=\dfrac{4x}{\text{e}^x+1}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$ pour $x\geq 0$.
\smallskip
\item En déduire les variations de $f$.
\end{enumerate}


\bigskip
\textbf{Partie C (Bonus) :} On considère la fonction $h$ définie sur $[0;\pI[$ par $h(x)=\dfrac{4}{\text{e}^x+1}$.\par
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthonormal.\par
\vspace{0.3cm}

\begin{minipage}{8cm}
Pour tout réel $x\geq0$, on note :\par
$M$ le point de $\mathcal{C}$ de coordonnées $(x;h(x))$,\par
$P$ le point de coordonnées $(x;0)$,\par
et $Q$ le point de coordonnées $(0;h(x))$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}   \includegraphics[scale=0.5]{courbe.eps} \end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'aire du rectangle $OPMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$ et donner une valeur approchée de cette aire (en unités d'aire).
\item Si le point $M$ a pour abscisse $\alpha$, la tangente $(T)$ en $M$ à la courbe est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}
