\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº4 - Probabilités - Dérivation - 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{24 janv 2024 - 55 min}  \end{center}



\exo{}{(6 pts)} Une usine fabrique des objets destinés à être commercialisés.\\
Sur 100 objets qui sortent de l'usine, en moyenne, 15 ont uniquement le défaut A, 7 ont uniquement le défaut B et 3 ont les deux défauts.\\

Le coût de production d'un objet est de 150 \euro. Grâce à la garantie, les clients peuvent faire réparer leur objet aux frais du fabricant. La réparation du défaut A revient à 30 \euro~ et la réparation du défaut B revient à 40 \euro.\\

Soit X la variable aléatoire qui associe à un objet choisi au hasard dans la production de l'usine, son coût de revient (coût de production~+~coût des réparations éventuelles).\\


\begin{minipage}{8cm}
On considère les évènements :\\
A : «L'objet a le défaut A.»\\
B : «L'objet a le défaut B.»\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
 & ~~~~$A$~~~~ & ~~~~$\overline{A}$~~~~ & ~Total~ \\ \hline
$B$ &  &  &  \\ \hline
$\overline{B}$ & & & \\ \hline
Total & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{enumerate}
 \item Compléter le tableau ci-dessus.
 \medskip
 \item Déterminer la loi de probabilité de X.
 \medskip
 \item Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat.
 \medskip
 \item On suppose que tous les objets produits sont vendus.
        \begin{enumerate}
         \item L'usine rélisera-t-elle des bénéfices si elle vend les objets 160 \euro~ pièce ?
         \smallskip
         \item Quel doit être le prix de vente d'un objet pour que l'usine réalise un bénéfice moyen de 50 \euro~ par objet ?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(4 pts)} Un sac contient 7 billes indiscernables au toucher : 3 billes portent le numéro 0,\\
2 billes portent le numéro 1, une bille porte le numéro 2 et une bille porte le numéro 5.\\
Un joueur tire successivement au hasard et avec remise deux billes du sac, et note les numéros des deux billes tirées.\\

Parmi les deux jeux suivants, quel est le plus intéressant pour le joueur ?\\

\textbf{Jeu 1 :} on gagne la somme des numéros tirés.\\
\textbf{Jeu 2 :} on gagne le produit des numéros tirés.\\


On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la somme des deux dés, et $Y$ la variable aléatoire égale  au produit des deux dés.\\

\begin{enumerate}
 \item On donne la loi de probabilité de $X$, compléter la loi de probabilité de $Y$.
 \medskip
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
valeurs de $X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 10 & Total \\ \hline
probabilités & $\frac{9}{49}$ & $\frac{12}{49}$ & $\frac{10}{49}$ & $\frac{4}{49}$ & $\frac{1}{49}$ & $\frac{6}{49}$ & $\frac{4}{49}$ & $\frac{2}{49}$ &  $\frac{1}{49}$ & 1 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
valeurs de $Y$ & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 10 & 25 & Total \\ \hline
probabilités & $\frac{33}{49}$ & ~~~~~~~~ & $\frac{4}{49}$ & $\frac{1}{49}$ & ~~~~~~~~~ & $\frac{2}{49}$ & $\frac{1}{49}$ & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
 \item On donne $E(X)=\dfrac{126}{49}\simeq 2,6$ ; calculer $E(Y)$ et comparer.
 \medskip
 \item On donne $\sigma(X)\simeq 2,36$ ; calculer $\sigma(Y)$, comparer et conclure.
\end{enumerate}
\finexo



\newpage
\exo{}{(3 pts)} Soit $f$ la fonction définie sur $I=[1;6]$ par \[f(x)=ax+b+\dfrac{8}{x}\]
On admet que $f$ est dérivable sur $I$.\\
La courbe $\mathcal{C}_f$ représente la fonction $f$ sur $I$.

\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(1)$, $f(2)$, $f(4)$ et $f'(2)$.
\smallskip
\item Déterminer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\smallskip
\item En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.8]{graphe.1} \end{center}
\end{minipage}
\finexo


\exo{}{(7 pts)}  Soit la fonction $f$ définie sur $]\mI;1[\cup]1;\pI[$ par \[f(x)=\dfrac{-x^2+4x-7}{x-1}\]
La courbe $\mathcal{C}$ représente la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item Montrer que $f(x)=-x+3-\dfrac{4}{x-1}$.
        \smallskip
        \item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=-x+3$ ; étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$.
        \end{enumerate}
\medskip
\item \begin{enumerate}
        \item Montrer que \[f'(x)=\dfrac{-x^2+2x+3}{(x-1)^2}\]
        \item Dresser le tableau de variations de $f$ (on ne demande pas les limites)
        \end{enumerate}
\medskip        
\item Existe-t-il des tangentes à $\mathcal{C}$ parallèles à $\mathcal{D}$ d'équation $y=-x$.        
\end{enumerate}
\finexo



\end{document}
