\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}
\usepackage{tabularx}
  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Fonctions - Probabilités et Suites - 1Spe maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{20 mars 2024 - 2h}  \end{center}



\exo{}{(3 pts)} \emph{Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie \textbf{bien justifiée}.}\\


\textbf{Partie A :} La courbe ci-dessous représente une fonction $g$ définie et dérivable sur $[-7~;~2]$.\\
La tangente au point $A(1~;~-3)$ coupe l'axe des ordonnées au point $B(0~;~-5)$.\\


\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-6)(4,4)
% \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{2}{x 3 exp 3 div x dup mul 2.5 mul sub 4.25 x mul add 4 sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{2}{x 3 exp 3 div x dup mul 2.59 mul add 0.3 mul 4 sub 0.3 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{2}{x x x 8 add mul 1 add mul 40 sub 10 div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-0.5}{3.5}{2 x mul 5 sub}
\uput[dr](1,-3){A}\uput[r](0,-5){B}
\psdots(1,-3)(0,-5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'une des quatre courbes suivantes représente la fonction $g'$ dérivée de la fonction $g$. Laquelle ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\[-10pt]
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 3 exp  x dup mul 6 mul  add 13 x  mul  sub 42 sub 1 21 div neg mul}
\end{pspicture}
\end{center}
&\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x  mul 0.2958 mul}
\end{pspicture}
\end{center}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\[-10pt]
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x dup mul mul 0.06 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
&\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7,-2)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7,-2)(2,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x dup mul mul 0.06 neg mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{tabularx}

\item  L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point $A$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = - 3x+ 1$ &\textbf{b.~~} $y = x-5$ &\textbf{c.~~} $y = 2x-5$ &\textbf{d.~~} $y = x - 4$
\end{tabularx}
\end{enumerate}


\textbf{Partie B :} Soit la courbe ci-dessous représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = - 3x^2 + 2x + 4$.\\
Dans l'algorithme ci-dessous, $a$ et $b$ sont deux réels. Quelle est la valeur de $a$ en sortie de l'algorithme ?\\

\parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.7,-1.2)(2.2,5)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=gray](-4,-2)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-2,-2)(2.2,5)[$x$,130][$y$,-35]
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2}{4 2 x mul add x dup mul 3 mul sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{2}{x -3 x mul 2 add mul 4 add}
\end{pspicture*}} \hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline
$a \gets 0$\\
$b \gets 4$\\
Tant que $b > 0$\\
\qquad $a \gets a+ 0,01$\\
\qquad $b \gets  - 3a^2 + 2a + 4$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
}

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1,54&\textbf{b.~~} 1,48&\textbf{c.~~}$- 0,86$&\textbf{d.~~} $- 0,87$
\end{tabularx}
\finexo


\exo{}{(4 pts)} La fonction $f$ est définie sur $[0~;~3]$ par \[f(x) = 2x\text{e}^{-0,5x^2}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = \left(2 - 2x^2\right)\text{e}^{-0,5x^2}$.
\medskip
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0; 3]$ et dresser son tableau de variation.
\medskip
\item En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par la fonction $f$ l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver. Pour tout $x \in [0~;~3]$, $f(x)$ représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant $x$, exprimé en mois.\\
Un journal affirme que cet hiver, le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million.\\
Que dire de cette affirmation ?
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(4 pts)} On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- 0,2x}\]
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On a représenté également sa tangente $T$ au point $A(0~;~7)$. $T$ passe par le point $B(2~;~14,2)$.


\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(25,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-3,0)(25,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,0)(25,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,0)(25,15)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2.2}{3.6 x mul 7 add}
\uput[dr](0,7){A} \uput[r](2,14.2){B} \uput[ur](7,10.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(0,7)(2,14.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Déterminer graphiquement $f(0)$.
       \smallskip
       \item Déterminer graphiquement $f'(0)$.
      \end{enumerate}
\medskip
\item Exprimer, pour tout $x \in \R$, $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\medskip
\item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système 		
\[\left\{\begin{array}{r c r}
a - 0,2b&=&3,6 \\
b&=&7
\end{array}\right.\]
En déduire la valeur de $a$.
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(3,5 pts)} Le syndrome d'apnée du sommeil se manifeste par des interruptions répétées de la respiration pendant le sommeil. Ce syndrome peut être dû à plusieurs facteurs.

\textbf{Sauf indication contraire, les résultats numériques seront approchés à \boldmath$10^{-4}$\unboldmath{} près.}

\medskip

On cherche à étudier le lien entre le surpoids et le syndrome d'apnée du sommeil dans une population donnée.\\
Parmi les personnes participant à l'étude, 41\,\% sont en surpoids.

On observe que parmi les individus en surpoids, 12\,\% souffrent du syndrome d'apnée du sommeil, et que parmi les individus qui ne sont pas en surpoids, 4\,\% souffrent du syndrome d'apnée du sommeil.

\medskip
On choisit au hasard une personne ayant participé à l'étude, et on note :

$\bullet~~$ $S$ l'évènement : \og la personne est en surpoids \fg{} ;

$\bullet~~$ $A$ l'évènement : \og la personne souffre d'apnée du sommeil \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un arbre pondéré.
\medskip
\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d'apnée du sommeil.
\medskip
\item Déterminer $P(A)$, et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\medskip
\item On choisit au hasard une personne qui souffre du syndrome d'apnée du sommeil.\\
Quelle est la probabilité que cette personne soit en surpoids ?
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(5,5 pts)} On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_{0}& =& 3\\
u_{n+1} &=& \dfrac{2}{1+u_n}\:
\end{array}\right. \]


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\medskip
\item On admet que $u_n \geq 0$ pour tout $n \in \N$, et on définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel $n$ par
\[v_n=1-\dfrac{3}{u_n+2}\]
         \begin{enumerate}
         \item Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$, puis conjecturer la nature de la suite $(v_n)$. Démontrer cette conjecture.
         \smallskip
        \item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
        \smallskip
        \item Justifier que \[u_n=\dfrac{3}{1-v_n}-2\]
        En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
        \smallskip
        \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}
