\documentclass[10pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº9 - La Totale - 1Spe maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{24 mai 2024 - 1h30 min}  \end{center}



\exo{}{(3,5 pts)} Julien doit prendre l'avion ; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport.

S'il prend le bus de $8$~h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol. Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.

Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$.

S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport.

\smallskip

On notera :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og Julien réussit à prendre son bus \fg ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement : \og Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\medskip
\item Calculer la probabilité pour que Julien ait réussi à prendre son bus, et soit à l'heure à l'aéroport pour son vol.
\medskip
\item Calculer la probabilité pour que Julien soit à l'heure à l'aéroport pour son vol.
\medskip
\item Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? 
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(5,5 pts)} Une commune dispose de 380 voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

\begin{itemize}
\item chaque voiture est louée pour une durée d'un mois ;
\item la location commence le 1\ier{} jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
\item le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.
\end{itemize}

\medskip
À la fin du mois de janvier 2019, 280 voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l'égalité: $u_{n+1}=0,9 u_n + 42$.

\begin{enumerate}
\item Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
\medskip
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-420$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
\smallskip
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que $u_n=-140\times 0,9^{n} + 420$.
\end{enumerate}
\medskip
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\medskip
\item La commune, qui possède initialement 380 véhicules, envisage d'acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.

\medskip
\begin{minipage}{7cm}
On souhaite utiliser l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{4cm}|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 280$\\
Tant que $\ldots\ldots\ldots$\\
\hspace*{1cm} $N\leftarrow N+1$\\
\hspace*{1cm} $U\leftarrow \ldots\ldots\ldots$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Compléter l'algorithme.
\smallskip
\item Que contient la variable $N$ à la fin de l'exécution

de l'algorithme ?
\smallskip
\item En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\finexo

\newpage
\exo{}{(5 pts)}

\begin{minipage}{10cm}
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2~;\,6]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-contre.

\medskip

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A(0~;\,3)$.

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point B\\ d'abscisse $-1$. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-2.5}   \def\xmax {6.5}
\def\ymin {-2.3}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-3)(7,7)
{\psset{linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=gray}
\multido{\i=-2+1}{9}{\psline(-3,\i)(7,\i) \psline(\i,-3)(\i,7)}
}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,110][$y$,-10] 
\def\f{x 2 add 2.7183 x neg exp mul 1 add}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{\f}
\psplot[plotpoints=2000]{-3}{6}{x neg 3 add}
\uput[ur](4,1.11){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](4,-1){$T$}
\uput{8pt}[dl](0,0){$0$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](-1,3.7183)(0,3)
\uput[d](-1,3.7183){B} \uput[ur](0,3){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}

\textbf{Partie A :} En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Donner $f(0)$ et déterminer $f'(0)$ ; en déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.
\medskip
\item Déterminer le signe de $f'$ sur $[-2~;\,6]$.
\end{enumerate}


\textbf{Partie B :} La fonction $f$ est définie par $f(x)= (x + 2)\text{e}^{-x} + 1$ pour tout $x \in [-2~;\,6]$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\medskip
\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[-2~;\,6]$.
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{(3,5 pts)} Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Soit la droite $\cald$ d'équation $3x+y-4=0$.

\begin{enumerate}
\item Le point $A(2;-3)$ appartient-il à $\cald$ ?
\medskip
\item Déterminer une équation de la droite $\cald_{1}$ parallèle à $\cald$ passant par $A$.
\medskip
\item Déterminer une équation de la droite $\cald_{2}$ perpendiculaire à $\cald$ passant par $A$.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(3 pts)} $ABCD$ est un carré de côté 4, et les points $M$ et $N$ sont tels que $\overrightarrow{CM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

\begin{minipage}{8cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{carre.eps} \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
Les droites $(DN)$ et $(AM)$ sont-elles perpendiculaires ?
\end{minipage}
\finexo


\end{document}
