\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}+
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº3 - Dérivation et Second degré - 1Spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{27 novembre 2024 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(8 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur $\cald=]\mI;-1[ \cup ]-1;\pI[$ par \[f(x)=\dfrac{x^{2}-2x+6}{x+1}\]
Ci-dessous, on a tracé  $\calc_f$ la représentation graphique de $f$.\par
\medskip
\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\cald$,\par et montrer que \[f'(x)=\dfrac{x^{2}+2x-8}{(x+1)^{2}}\]
\smallskip
\item Etudier le signe de $f'(x)$, et en déduire\par le tableau de variations de $f$ sur $\cald$.
\smallskip
\item La fonction $f$ admet-elle des extrema sur $\cald$ ?
\smallskip
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\calc_f$\par au point d'abscisse $-2$.
\smallskip
\item Existe-t-il des tangentes à $\calc_f$ de coefficient\par directeur égal à 1 ?
\smallskip
\item Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=x-3$.
        \begin{enumerate}
        \item Montrer que, pour tout $x \in \cald$,\par $f(x)=x-3+\dfrac{9}{x+1}$
        \item Etudier la position relative de $\calc_f$ et $\Delta$.
        \end{enumerate}
\smallskip
\item Tracer $T$ et $\Delta$ sur le graphique.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.45]{courbe_f.eps} \end{center}
\end{minipage}
\finexo


\exo{}{(3,5 pts)}\par
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{9cm}
Ci-contre, la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2,5;\pI[$ ainsi que deux de ses tangentes.
\item Déterminer $f'(-1)$ et $f'(0)$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.2]{courbe.eps}\end{center}
\end{minipage}\par
\begin{minipage}{7cm}
\item Parmi les courbes ci-contre, l'une représente la fonction dérivée $f'$,\par et une autre représente une fonction $g$ définie et dérivable sur $[-2,5;\pI[$\par telle que $g'=f$.\par
\smallskip
Retrouvez-les.
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.35]{3courbes.eps}\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(4 pts)} On a modélisé l'évolution d'une épidémie de grippe de la façon suivante : si $t$ est le temps (en jour) écoulé depuis le début de l'épidémie, le nombre de cas en millier est donné par : \[f(t)=-\dfrac{1}{6}t^3+\dfrac{5}{2}t^2+28t\]
\begin{enumerate}
\item Combien de malades compte-t-on au bout de 5 jours ? Au bout de 20 jours ?
\medskip
 \item Donner l'expression de la fonction dérivée de $f$.\par
 \medskip
 On appelle vitesse instatanée d'évolution au temps $t$ le nombre dérivé de la fonction $f$ en $t$.
 
\item Calculer la vitesse instantanée d'évolution de la maladie au début de l'épidémie.
\medskip
\item Calculer la vitesse instantanée d'évolution de la maladie à l'instant $t=$ 3 jours.
\medskip
\item Déterminer le nombre de jours pour atteindre le pic de l'épidémie.
\medskip
\item Quelle est la vitesse d'évolution de la maladie au moment du pic ?
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4,5 pts)} Le but de l'exercice est de montrer que pour tout $x \in~ ]0;\pI[$, on a \[x^2+\dfrac{2}{x} \geq 3\]
Soit la fonction $f$ définie sur $]0;\pI[$ par $f(x)=x^2+\dfrac{2}{x} $.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que, pour tout $x \in~ ]0;\pI[$, on a $f'(x)=\dfrac{2(x^3-1)}{x^2}$.
\medskip
 \item Soit $P(x)=x^3-1$ défini sur $\R$.
        \begin{enumerate}
         \item Vérifier que 1 est racine évidente de $P$.
         \smallskip
         \item Factoriser $P(x)$.
        \end{enumerate}
\medskip
\item Etudier le signe de $f'(x)$, et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0;\pI[$.
\medskip
\item Montrer l'inégalité demandée.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(Bonus)} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par \[f(x)=3x^4-4x^3+6x^2-12x+12\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
 \medskip
\item Déterminer $f''$ la fonction dérivée de $f'$ sur $\R$, et étudier son signe.
\medskip
\item En déduire le tableau de variations de $f'$ sur $\R$.
\medskip
\item Calculer $f'(1)$ et en déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
\medskip
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}