\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Dev nº5 - Suites - Probabilités et Variables Aléatoires- 1ère spé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{19 février 2025 - 1h30}  \end{center}


\exo{}{(7 pts)} Chaque jour, un athlète doit sauter une  haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si l'athlète franchit la haie un jour,  alors il la franchira dans $90\,\%$ des cas le jour suivant ;
\item[$\bullet~~$] si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70\,\%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
\end{itemize}

On note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R_n$ l'évènement : \og L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance \fg,
\item[$\bullet~~$] $p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$. On considère que $p_0 = 0,6$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{7cm}
\item Soit $n$ un entier naturel, compléter l'arbre pondéré ci-contre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R_n$~}\taput{$p_n$}}
{\TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}

\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{R_n}$~}\tbput{\ldots}}
{\TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
}
\end{center}
\end{minipage}
\item Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[p_{n+1} = 0,6p_n + 0,3.\]

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0,75$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\smallskip
		\item Justifier que $p_n=0,75-0,15 \times 0,6^n$ pour tout $n \in \N$.
		\smallskip
		\item Déterminer le sens de variations de la suite $(p_n)$.
		\smallskip
		\item Quelle semble être la limite de $(p_n)$ ? Interpréter cette valeur dans le cadre de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\finexo


\exo{}{(7 pts)} La roue équilibrée est partagée en 10 secteurs identiques de 1 à 10.


\begin{minipage}{12cm}
Un joueur peut choisir l'une des stratégies suivantes :
\smallskip
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{Stratégie 1 :} il mise 10 \euro~ sur un numéro pair.\par Si un numéro pair sort, il reçoit le double de sa mise, sinon il perd sa mise.
\smallskip
\item[$\bullet~~$] \textbf{Stratégie 2 :} il mise 10 \euro~ sur un numéro.\par Si ce numéro sort, il reçoit 10 fois sa mise, sinon il perd sa mise.
\smallskip
\item[$\bullet~~$] \textbf{Stratégie 3 :} il mise 10 \euro~ sur les numéros 1 et 2.\par Si l'un de ces numéros sort, il reçoit le double de sa mise, sinon il perd sa mise.
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
 \begin{center}  \includegraphics[scale=0.5]{roue.eps} \end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item Pour chacune des stratégies, donner la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, en complétant les tableaux ci-dessous (justifier brièvement les calculs). \par
\bigskip
\begin{tabular}{|l|c|c|} \hline
Gains algébriques $X_1$ & ~~~~~ & ~~~~~  \\ \hline
Probabilité &  &  \\ \hline
\end{tabular}~
\begin{tabular}{|l|c|c|} \hline
Gains algébriques $X_2$ & ~~~~~ & ~~~~~  \\ \hline
Probabilité &  &  \\ \hline
\end{tabular}~
\begin{tabular}{|l|c|c|} \hline
Gains algébriques $X_3$ & ~~~~~ & ~~~~~  \\ \hline
Probabilité &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\smallskip
\item Déterminer l'espérance et l'écart type de chacune des variables aléatoires.
\smallskip
\item Comparer les différentes stratégies.
\end{enumerate}
\finexo

\newpage
\exo{}{(7 pts)} Soit $f$ la fonction définie sur $]- 2~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{4x - 1}{x + 2}$,\par
et soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \N$ par :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&5\\
u_{n+1} &=&\dfrac{4u_{n} - 1}{u_{n} +2}=f(u_n)
\end{array}\right.\]
\medskip

Ci-dessous, une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.
\medskip

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{8cm}
\item \begin{enumerate}
		\item Sur l'axe des abscisses, placer $u_{0}$ puis construire $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ en laissant apparents les traits de construction.
		\smallskip
		\item Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2.5)(7,4.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2}{4.25}{x}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{-0.62}{6.25}{4 x mul 1 sub x  2 add div}
\uput[ul](0,0){O} \uput[ul](3.8,3.8){$\Delta$} \uput[u](3,2.2){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{1}{u_{n} - 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{3}$.
		\smallskip
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \N$, et en déduire que $u_{n}=\dfrac{15+4n}{3+4n}$.
		\smallskip
		\item Quelle semble être la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\smallskip
\item \begin{enumerate}
\item \begin{minipage}{10cm}
Compléter la fonction \og \texttt{seuil} \fg{} suivante écrite en Python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit inférieur ou égal à 1,1.\par
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def seuil() :\\
\quad  u = 5\\
\quad  n = 0\\
\quad while \ldots \ldots \ldots \ldots\\ :
\quad\qquad  u = \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\quad\qquad  n = \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\quad return n\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\smallskip

\item Quelle est la valeur renvoyée par l'algorithme ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo



\end{document}