\documentclass[11pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} % \usepackage{fourier} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{variations} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} \usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \usepackage{calc} %-------------- extension professor desiree : %\usepackage[xcas]{pro-tablor} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} \RequirePackage{enumitem} \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \newenvironment{colenumerate}[2][]% {\let\olditem\item \let\item\myitem \setcounter{c@lonne}{0} \setcounter{colg@uche}{1} \setcounter{ligh@ut}{1} \setcounter{nbc@l}{#2} \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep} \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}} \end{enumerate}\strut \end{minipage}% } \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \addtocounter{c@litem}{1} \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}] } \par \vspace{-\baselineskip} \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2} \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol} \strut\begin{enumerate}[#1] }% {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut \end{minipage} \par\vspace{-\baselineskip} } %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} % \input{tabvar} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{center} \textbf{\large{Dev nº5 Bis - Suites - Probabilités et Variables Aléatoires- 1ère spé maths}} \end{center} \begin{center} \large{8 mars 2025 - 2h} \end{center} \exo{}{(11,5 pts)} \emph{Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et s'intéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.}\par \medskip \emph{Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70\,\% des cas.}\par \medskip \emph{Mais si elle vient de subir une défaite, d'après elle, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de $0,2$.}\par \emph{De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.}\par \emph{On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.}\par \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit les évènements suivants: \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item $G_n$ : \og Léa gagne la $n$-ième partie de la journée \fg{} ; \item $D_n$ : \og Léa perd la $n$-ième partie de la journée \fg. \end{itemize} \smallskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $g_n$ la probabilité de l'évènement $G_n$.\par On a donc $g_1 = 0,5$. \medskip \begin{enumerate} \begin{minipage}{10cm} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $p_{G_1}\left(D_2\right)$ ? \smallskip \item Compléter l'arbre des probabilités ci-contre qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée. \smallskip \item Calculer $g_2$. \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{9cm} \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3.25cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$G_1~$}\taput{\ldots}} {\TR{$G_2~$}\taput{\ldots} \TR{$D_2~$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$D_1~$}\tbput{\ldots}} {\TR{$G_2~$}\taput{\ldots} \TR{$D_2~$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \end{minipage} \medskip \begin{minipage}{10cm} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Compléter l'arbre des probabilités ci-contre qui modélise la situation pour les $n$-ième et $(n + 1)$-ième parties de la journée. \smallskip \item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2.\] \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{9cm} \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3.25cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$G_n~$}\taput{$g_n$}} {\TR{$G_{n+1}~$}\taput{\ldots} \TR{$D_{n+1}~$}\tbput{\ldots} } \pstree{\TR{$D_n~$}\tbput{\ldots}} {\TR{$G_{n+1}~$}\taput{\ldots} \TR{$D_{n+1}~$}\tbput{\ldots} } } \end{center} \end{minipage} \medskip \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $v_n = g_n - 0,4$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. \smallskip \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4$. \end{enumerate} \medskip \item Étudier les variations de la suite $\left(g_n\right)$. \medskip \item Donner la limite de la suite $\left(g_n\right)$, et interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.\par \medskip \begin{minipage}{11cm} \item \begin{enumerate} \item Compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante,\par écrite en langage Python, afin qu'elle renvoie le plus petit\par rang à partir duquel les termes de la suite $\left(g_n\right)$ sont tous\par inférieurs ou égaux à $0,401$. \smallskip \item Quelle est la valeur renvoyée par l'algorithme ? \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm} \begin{center} \fbox{ \sffamily \begin{tabular}{l} 1 \quad \textbf{def} seuil() :\\ 2 \quad \qquad g = 0.5\\ 3 \quad \qquad n = 1\\ 4 \quad \qquad \textbf{while} \ldots \dots \dots \dots :\\ 5 \quad \qquad \qquad g = \dots \dots \dots \\ 6 \quad \qquad \qquad n = \dots \dots \\ 7 \quad \qquad \textbf{return} (n)\\ \end{tabular} } \end{center} \end{minipage} \end{enumerate} \finexo \newpage \exo{}{(5,5 pts)} Un joueur mise 3 \euro, puis lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.\par \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] S'il obtient un nombre pair, le joueur reçoit, en euros, le double du nombre obtenu. \item[$\bullet~~$] S'il obtient 1 ou 3, le joueur reçoit 1 \euro. \item[$\bullet~~$] Sinon, le joureur ne reçoit rien. \end{itemize} $X$ est la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur.\par (on pourra compléter le tableau ci-dessous en justifiant). \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline Gains algébriques $X$ & ~~~~~ & ~~~~~ & ~~~~~ & ~~~~~ & ~~~~~ \\ \hline Probabilité & & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (si besoin, arrondir au centième). \medskip \item Interpréter les valeurs obtenues. \end{enumerate} \finexo \exo{}{(5,5 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur $]- 3~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{- x - 4}{x+ 3}$.\par Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \N$ par : \[\left\{\begin{array}{l c l} u_{0} &=&0\\ u_{n+1} &=&\dfrac{-u_n - 4}{u_n + 3}=f(u_n) \end{array}\right.\] \begin{enumerate} \begin{minipage}{7cm} \item On a tracé une partie de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$, et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.\par Sur le graphique, placer $u_{0},\:u_{1}$ et $u_{2}$\par sur l'axe des abscisses.\par Faire apparaître les traits de construction. \medskip \item Que peut-on conjecturer sur le sens de\par variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? sur sa limite ? \end{minipage} \begin{minipage}{12cm} \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{courbe.eps} \end{center} \end{minipage} \medskip \item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: \[v_n = \dfrac{1}{u_n + 2}\] \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison 1. \smallskip \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ \[u_n = \dfrac{1}{n + 0,5} - 2.\] \smallskip \item Quelle semble être la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \finexo \end{document}