\documentclass[11t]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 8 (1h...)}{}{T\up{ale}S spé}{23 février 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}+

\exo{}{(5 pts)} ROC\\
Soient $a$,$a'$,$b$ et $b'$ des entiers relatifs, et soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $a\equiv a'(n)$ et $b\equiv b'(n) \Rightarrow a\times b\equiv a'\times b'(n)$
\item Montrer que pour tout $p \in \N^*$, $a \equiv a'(n) \Rightarrow a^p \equiv a'^p (n)$
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(10 pts)} En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements : l'hébergement A et l'hébergement B.\\
Une nuit en hébergement A coûte 24 \euro{} et une nuit en  hébergement B coûte 45 ~\euro{}.\\
Il se rappelle que le coût  total de sa réservation est de 438 ~\euro{}.\\

\emph{On souhaite retrouver les nombres $x$ et $y$ de nuitées passées respectivement en hébergement A\\ et en  hébergement B}
 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que les nombres $x$ et $y$ sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.		
	\item Compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les couples ($x$ ; $y$) possibles.

\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{8.5cm}
\begin{tabular}{ll}
\textbf{Entrée :} & $x$ et $y$ sont des nombres\\
\textbf{Traitement :} & Pour $x$ variant de $0$ \ldots\hfill~~~~~~~~ (1)\\
&\phantom{XX} Pour $y$ variant de 0 \ldots\hfill~~~~ (2)\\
&\phantom{XXXX} Si \ldots\hfill~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3)\\
&\phantom{XXXXXX}Afficher $x$ et $y$\\
&\phantom{XXXX}Fin Si\\
&\phantom{XX}Fin Pour\\
&Fin Pour\\
\textbf{Fin traitement}
\end{tabular}
\end{minipage}
}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation $8x + 15y = 1$ admet pour solution au moins un couple d'entiers relatifs.
\item Déterminer une telle solution.
\item Résoudre l'équation (E) : $8x + 15y = 146$ où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.
\end{enumerate}
\item Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.\\
     Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des nuits passées en hébergement B.
    Calculer ces nombres.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(5 pts)}\\

%\textbf{Partie A : } On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline
%Variables :& 	$a$ est un entier naturel\\
%	& $b$ est un entier naturel\\ 
%	&$c$ est un entier naturel\\ 
%Initialisation :& 	Affecter à $c$ la valeur $0$\\
%			& Demander la valeur de $a$\\
%			& Demander la valeur de $b$\\ 
%Traitement :& 	Tant que $a > b$\\ 
%			&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
%			Affecter à $c$ la valeur $c + 1$\\ 
%			Affecter à $a$ la valeur $a - b$
%			\end{tabular}\\
%			& Fin de tant que \\
%Sortie : 	&Afficher $c$\\
%			& Afficher $a$\\ \hline
%			\end{tabular}
%\end{center} 

%\begin{enumerate}
%\item Faire fonctionner cet algorithme avec $a =	13$ et $b =	4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. 
%\item Que permet de calculer cet algorithme ?
%\end{enumerate}

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et~$25$.\\
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A	&B&C &D&E &F&G  &H&I&J& K &L &M \\ \hline
0	&1 	&2	&3 	&4 	&5 	&6 	&7	&8 	&9 	&10 	&11 	&12\\ \hline \hline 
N	&O	&P	&Q	&R &S	& T	&U 	&V 	&W 	&X 		&Y		&Z\\ \hline 
13	&14	&15	&16	&17 &18 &19 &20	&21	&22	&23 	&24		&25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

On définit un procédé de codage de la façon suivante :
 
\hspace{0,5cm}\begin{tabular}{l p{18 cm}}
\emph{Étape} 1 : & À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.\\ 
\emph{Étape} 2 : & On calcule le reste de la division euclidienne\index{division euclidienne} de $9m + 5$ par $26$ et on le note $p$.\\
\emph{Étape} 3 : & Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.\\
\end{tabular}
 
\begin{enumerate}
\item Coder la lettre U. 
%\item Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
%\end{enumerate}

%\textbf{Partie C}

%\begin{enumerate}
\item Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1\quad [26]$. 
\item Démontrer alors l'équivalence : \[9m + 5 \equiv  p\quad [26] \iff m \equiv  3p -  15\quad  [26].\]
\item Décoder alors la lettre B.
\item (Bonus) Décoder le message OBS VP.
\end{enumerate}
\finexo


\end{empfile}
\end{document}


 
