\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 11 (45 min ...)}{}{T\up{ale}S spé}{4 mai 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}



\exo{}{(10 pts)} \textbf{Liban mai 2016} \\
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\
Deux points sont attribués par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise
en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.}\\

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On considère le système $\left\{\begin{array}{l c l}
n &\equiv & 1 \quad [5]\\
n &\equiv & 3 \quad[4]
\end{array}\right.$ d'inconnue $n$ entier relatif.

\textbf{Affirmation 1 :} Si $n$ est solution de ce système alors $n - 11$ est divisible par 4 et par 5.\par
\vspace{0.2cm}
\textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier relatif $k$, l'entier $11 + 20k$ est solution du système.\par
\vspace{0.2cm}

\textbf{Affirmation 3 :} Si un entier relatif $n$ est solution du système alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 11 + 20k$.\par
\vspace{0.2cm}

\item[$\bullet~~$] Un automate peut se trouver dans deux états A ou B.\\
		    À chaque seconde il peut soit rester dans l'état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans l'état A après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans
l'état B après $n$ secondes.\\
Au départ, l'automate est dans l'état B.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.1)
\cnodeput(1,2){A}{A}
\cnodeput(6,2){B}{B}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,3}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,2}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,7}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,8}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère l'algorithme suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|>{\bf{}}l|X|} \hline
Variables:		&$a$ et $b$ sont des réels\\
Initialisation:	& $a$ prend la valeur 0\\
				&$b$ prend la valeur 1\\
Traitement:		&Pour $k$ allant de 1 à 10\\
				&\hspace{0.4cm}$a$ prend la valeur $0,8a + 0,3b$\\
				&\hspace{0.4cm}$b$ prend la valeur $1 - a$\\
				&Fin Pour\\
Sortie:			&Afficher $a$\\
				&Afficher $b$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de $a_{10}$ et $b_{10}$.\par
\vspace{0.2cm}

\textbf{Affirmation 3 :} Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état $A$ que d'être dans l'état $B$.
\end{itemize}
\finexo


\end{empfile}
\end{document}


 
