\documentclass[12pt]{article}
\input{Preambule.tex}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}
\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 3 (30mn)}{}{T\up{ale}S spé}{16 novembre 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}+


\exo{}{(2 pts)}\\
Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $5^{4n}-1$  est divisible par 13.
\finexo

\exo{}{(4 pts)}\\
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le reste de la division euclidienne de $5^n$ par 7, suivant les valeurs de l'entier naturel $n$.
 \item En déduire le reste de la division euclidienne de $5^{2019}$ par 7. 
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(4pts)}
\begin{enumerate}
\item Compléter cette table des restes dans la congruence modulo 8.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x \equiv ...[8]$ & ........ & ........ & ........  & ........ & ........ & ........ & ........ & ........\\ \hline
$x^2 \equiv ...[8]$  &  &  &  &  &  &  &  & \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}
\item Résoudre dans $\Z$, l'équation $(x+3)^2 -1 \equiv 0 ~[8]$.
\end{enumerate} 
\finexo



\exo{}{(Bonus)} Soit $n$ un nombre entier naturel.\\
Montrer que $(n^2-1)(n^2-4)$ est divisible par 5 si $n$ n'est pas divisible par 5.
\finexo


\end{empfile}
\end{document}


 
