\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
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\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 4 (1H)}{}{T\up{ale}S spé}{23 novembre 2018}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}+

\exo{}{(20 pts)} Les entiers naturels 1, 11, 111, \np{1111}, \ldots sont des rep-units.\\
On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des 1.

Pour tout entier naturel $p$ non nul, on note $N_p$ le rep-unit s'écrivant avec $p$ fois le chiffre~1~:
\renewcommand\arraystretch{0.7}
\[N_p = \underbrace{11 \ldots 1}_{\begin{tabular}{c}\tiny $p${} \text{répétitions} \\ \tiny \text{du chiffre }1
\end{tabular}} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=p-1} 10^k.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
\vspace{-0.3cm}

Dans tout l'exercice, $p$ désigne un entier naturel non nul.\\
L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units.\\

\textbf{Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers}

\begin{enumerate}
\item Justifier que $N_p$ n'est divisible ni par 2 ni par 5.
\item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par 3.
	\begin{enumerate}
	\item Prouver que, pour tout entier naturel $j$,\: $10^j \equiv  1 \:\:\text{mod } 3$.
	\item En déduire que $N_p \equiv  p \:\:\text{mod } 3$.
	\item Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $N_p$ soit divisible par 3.
	\end{enumerate}
	
\item Dans cette question, on étudie la divisibilité de $N_p$ par $7$.
	\begin{enumerate}
	\item Compléter le tableau de congruences ci-dessous, où $a$ est l'unique entier relatif\\
	      appartenant à $\{-3~;~-2~;~- 1~;~0~;~1~;~2~;~3\}$ tel que $10^m \equiv a \:\:\text{mod}\: \:7$.\

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$m$	& ~0~ & ~1~ & ~2~ & ~3~ & ~4~	& ~5~ & ~6~\\ \hline
$a$	& & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\item Soit $p$ un entier naturel non nul.\\
	      Montrer que $10^p \equiv 1 \:\:\text{mod}\: 7$ si et seulement si $p$ est un multiple de $6$.\\
	      \emph{On pourra utiliser la division euclidienne de $p$ par $6$.}
	\item Justifier que, pour tout entier naturel $p$ non nul, $N_p = \dfrac{10^p - 1}{9}$.
	\item Montrer que si \og  7 divise $N_p$ \fg{} alors \og  7 divise $9N_p$ \fg.\\
	      On admet la réciproque : si \og  7 divise $9N_p$ \fg{} alors \og  7 divise $N_p$ \fg{}.
	\item En déduire que $N_p$ est divisible par 7 si et seulement si $p$ est un multiple de 6.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait}

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.\\
      On suppose que l'écriture décimale de $n^2$ se termine par le chiffre 1, c'est-à-dire $n^2 \equiv 1 \:\:\text{mod}\:~ 10$.
	\begin{enumerate}
	\item Compléter le tableau de congruences ci-dessous.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n \equiv \ldots \ \ [10]$&  0 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
\rule[-2mm]{0mm}{7mm}$n^2 \equiv \ldots \ \ [10]$&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}	
\end{center}

	\item En déduire qu'il existe un entier naturel $m$ tel que: $n = 10m + 1$ ou  	$n = 10m - 1$.
	\item Conclure que $n^2 \equiv  1 \:\: \text{mod}\: 20$.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $p$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.\\
      Quel est le reste de la division euclidienne de $N_p$ par 20 ?
      
\item En déduire que, pour $p$ entier naturel supérieur ou égal à 2, $N_p$ n'est pas le carré d'un entier.
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(Bonus)} Soit $N$ un entier naturel, impair non premier.\\
On suppose que $N =  a^2 - b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la même parité. 
\item Montrer que $N$ peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$.
\item Quelle est la parité de $p$ et de $q$ ?
\end{enumerate}
\finexo






\end{empfile}
\end{document}


 
