\documentclass[11pt,twoside]{article}
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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}
\usepackage{tabularx}



\pagestyle{empty}
\begin{document}

\begin{center} {\Large \textbf{Bac Blanc de Mathématiques - TES - Février 2010}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}



\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}\par
\textbf{Commun à tous les candidats}

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte ; indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
  
\emph{Barème : pour chaque question, une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève de point. Si la somme des points de cet exercice est négative, la note est ramenée à $0$.}\\
\medskip

\textbf{1.}  $\limite{x}{\pI} \ln(\dfrac{x^2-3x+1}{x^2+2})$ est égale à :
\begin{center} Réponse A : $\pI$ \hspace*{1,5cm} Réponse B : $0$ \hspace*{1,5cm} Réponse C : $\mI$ \end{center}
\medskip
\textbf{2.}  Si $f$ est la fonction définie sur $]0~;\pI~[$ par : $f(x)=2\ln x -3x+5$ alors dans un repère du plan,\par
une équation de la tangente à la courbe représentant $f$ au point d'abscisse $1$ est :
\begin{center}
Réponse A : $y=-x+2$ \hspace*{1,5cm} Réponse B : $y=-x+3$  \hspace*{1,5cm} Réponse C : $y=-3x-2$ \end{center}
\medskip
\textbf{3.} $\ln (1-x) \leq 0$ est équivalente à :
\begin{center}
Réponse A : $x \in [0~;\pI[$  \hspace*{1,5cm} Réponse B : $x \in [0~;1~[$ \hspace*{1,5cm} Réponse C : $x \in ]\mI;1]$ \end{center}
\medskip
\textbf{4.} La fonction $f$ définie sur $]0 ~;\pI[$ par $f(x)=\ln(x) +2$ a pour primitive, la fonction définie sur $]0~; \pI[$ par :
\begin{center}
Réponse A : $F(x)=x\ln(x)$ \hspace*{1cm} Réponse B : $F(x)=x\ln(x)-x$ \hspace*{1cm} Réponse C : $F(x)=x\ln(x)+x$ \end{center}
\vspace*{1cm}



\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}\par
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.}\par
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.\par
\parbox{0.4\linewidth}{On a tracé ci-contre sa courbe représentative $(\mathcal{C})$ dans un repère orthonormal.\\

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.\\

Les points A$(- 1~;~ 0)$ et B(0 ; 2) appartiennent à la courbe $(\mathcal{C})$.\\
La courbe $(\mathcal{C})$ admet en B une tangente parallèle à l'axe des abscisses.\\

La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$.
La fonction $f$ est décroissante et strictement
positive sur l'intervalle $[0~ ;~ + \infty[$.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.73cm}
\begin{center} \begin{pspicture}(-3,-6)(6,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-6)(6,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-6)(6,5)
\uput[ul](-1,0){A} \uput[ur](0,2){B}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{-1.605}{6}{2 x mul 2 add 2.71828 x exp div}
\end{pspicture} \end{center} }

\newpage
\noindent \textbf{Question 1 :}\par
Une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction $f'$.\par
Déterminer laquelle en justifiant.
\medskip
   
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(4,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-1)(4,5)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](3,-0.2){$(\mathcal{C}_{1})$}
\psplot{-0.4}{4}{2 2 x mul sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-2)(4,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1,-2)(4,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](3,-0.3){$(\mathcal{C}_{2})$}
\psplot{-0.8}{4}{x neg 2 mul 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-3)(3,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-3)(3,3)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,1){$(\mathcal{C}_{3})$}
\psplot{-1.429}{1.429}{x 3 exp}
\end{pspicture}\\
\textbf{R\'eponse A}&\textbf{R\'eponse B}&\textbf{R\'eponse C}\\
\end{tabularx}
\medskip

\noindent \textbf{Question 2 :}\par
Une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.\par
Déterminer laquelle en justifiant.
\medskip
   
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-2,-5)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-5)(3,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-5)(3,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,1){$(\mathcal{C}_{4})$}
\psplot{-2}{2}{x 2 exp}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-5)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-5)(2,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-5)(2,4)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,1){$(\mathcal{C}_{5})$}
\psplot{-2.71}{0.596}{x 1 add 3  exp}
\end{pspicture}&
\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(-3,-6)(2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-6)(2,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-6)(2,3)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,1){$(\mathcal{C}_{6})$}
\psplot{-2.169}{2}{x 2 mul 4 add 2.71828 x exp div neg}
\end{pspicture}\\
\textbf{Réponse A} & \textbf{Réponse B} & \textbf{Réponse C}\\
\end{tabularx}
\medskip

\noindent \textbf{Question 3 :}\par
Calculer $\int_{-2}^{0} f(x) ~ dx$.
\vspace*{0,5cm}

Pour les questions 4, 5, 6 et 7, on définit la fonction $g$ par $g(x) = \ln [f(x)]$,\par
où ln est la fonction logarithme népérien.\par
\noindent \textbf{Question 4 :}\par
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $g$.
\medskip

\noindent \textbf{Question 5 :}\par
Donner les variations de la fonction $g$.
\medskip

\noindent \textbf{Question 6 :}\par
$g'$ est la fonction dérivée de la fonction $g$ ; calculer $g'(0)$.
\medskip

\noindent \textbf{Question 7 :}\par
Déterminer $\limite{x}{-1^+} g(x)$.\par
\newpage




\noindent \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}\par
\textbf{Commun à tous les candidats}\par
Un site Internet offre la possibilité à des particuliers de vendre des objets aux enchères.Pour chaque objet, la durée des enchères dure une semaine. Si une annonce reçoit une enchère, alors la vente de l'objet est obligatoire à 1a fin des enchères et ce, m\^eme si le vendeur juge le prix de vente trop peu élevé.\\
Sur ce site. une étude statistique a montré que :
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $\dfrac{3}{5}$ des annonces reçoivent une première enchère le lendemain de leur parution ; dans  ce cas, 75 \% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final ;

\item[$\bullet$] $\dfrac{1}{3}$ des annonces reçoit une première enchère au bout de trois jours et, dans ce cas, 57 \% des vendeurs sont satisfaits du prix de vente final de leur objet ;

\item[$\bullet$] les autres annonces ne reçoivent aucune enchère et le vendeur retire alors son objet de la vente. 
\end{enumerate}
On choisit au hasard une annonce mise en ligne sur le site. On note :
\begin{enumerate}
\item[$\bullet$]  L : l'événement \og l'annonce reçoit une première enchère le lendemain de sa parution \fg ; 

\item[$\bullet$] T : l'événement \og  l'annonce reçoit une première enchère au bout de trois jours \fg ; 

\item[$\bullet$] A: l'événement \og l'annonce ne reçoit aucune enchère \fg ; 

\item[$\bullet$]  S : l'événement \og le vendeur est satisfait du prix de vente final de son objet \fg ~et $\overline{S}$ son événement contraire. 
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Traduire la situation par un arbre de probabilité. 

\item Calculer la probabilité que l'annonce ait reçu une première enchère le lendemain de sa parution et que le vendeur soit satisfait du prix de vente final. 

\item Démontrer que la probabilité que le vendeur soit satisfait du prix de vente de son objet est 0,64. 

\item Un objet est vendu à un prix qui satisfait son vendeur. Quelle est la probabilité que cet objet ait reçu une première enchère dès le lendemain de la parution de l'annonce (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au centième) ? 

\item Marc a mis en vente le m\^eme jour trois jeux vid\'eo identiques sur ce site. On suppose que les déroulements des enchères sont indépendants les uns des autres.\par
	(\emph{les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au millième}).
	\begin{enumerate}
 	\item Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit  satisfait du prix de vente de ses trois jeux vidéo.
	\item Calculer la probabilité qu'à la fin des enchères, Marc soit  satisfait du prix de vente d'au moins deux de ces jeux vidéo.\par \end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage




\noindent \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}\par
\textbf{Commun à tous les candidats.}\par
Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$  par : $g(x) =\ln x + 2x^2 - 3$.\par
Le tableau de variations de la fonction $g$ est donné ci-dessous :
\begin{center}
\begin{pspicture}(7,2.5)
\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2) \psline(2.2,0)(2.2,2) \psline(2.3,0)(2.3,2)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.25,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$\alpha$} \uput[u](6.6,2){$+ \infty$}
\rput(1,1){$g$} \rput(2.6,0.2){$- \infty$} \rput(4.5,1){$0$} \rput(6.7,1.8){$+ \infty$} \psline{->}(2.5,0.3)(6.5,1.7)
\end{pspicture}
%\begin{variations}
%x&\bb&0&&\alpha&&\pI\\
%\filet
%\m{g}&\bb&\mI&\cb&\m{0}&\ch&\h{\pI}\\
%\end{variations}
\end{center} 
En utilisant une calculatrice, on a obtenu $\alpha\approx1,19$.\\
Dresser le tableau donnant le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$.

\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$  par : 
\[f(x)=\dfrac{2}{x}- \dfrac{\ln x}{x} +2x-5.\]
On note $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. 
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que la droite $(d)$ d'équation $y=2x-5$ est asymptote à $\mathscr{C}_{f}$.
\end{enumerate}

\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $] 0~;~+\infty[$, on a : $f' (x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
\item En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
\item Déterminer le signe de $f (x)$ pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $\mathrm{e}$.\\
\emph{Toute trace de recherche, m\^eme incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\item Compléter le graphique donné en annexe.

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $] 0~;~+\infty[$ par $h(x)=\left(\ln x\right)^2$. 
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $h'$ de $h$.
\item En remarquant que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$, on a : \\$f (x) =\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{2}h'(x)+2x-5$, trouver une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Calculer $\int_{e}^{4} f(x) ~dx$ (on donnera une valeur décimale arrondie au dixième).\par Interpréter graphiquement le résultat.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\newpage



ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE\par
\vspace*{0.5cm}
Nom :................................    Classe : ............
\vspace*{0.5cm}
\begin{center}  \includegraphics[scale=0.5]{annexejf.eps} \end{center}

\label{fin}

\end{document}