\documentclass[11pt,twoside]{article}
\usepackage{carmenlfbis}
%\usepackage{a4lfb}
\usepackage{pst-plot,pst-text}

\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{twoside,hmargin=1.5cm,vmargin={-0.5cm,1cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}

\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}



\devoir{TES}{6}{15 janv 2010}{1H}


\begin{exercice}[(7 points)]
La courbe $\mathcal{C}$ représente, dans le plan muni d'un repère orthogonal, une fonction $f$ définie dans l'intervalle 
$[-1~;~ 6]$. On sait que la courbe $\mathcal{C}$ :

$\bullet~$ coupe l'axe des ordonnées au point $A$ d'ordonnée 3, et l'axe des abscisses au point $B$ d'abscisse $b$ ;\par
$\bullet~$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 2 ;\par
$\bullet~$ admet la droite $T_{\text{A}}$ pour tangente au point $A$.
\vspace{0.3cm}

\textbf{Partie A : Etude graphique de la fonction $f$ }
\vspace{0.2cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(6,8)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-4)(6,8)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(6,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,8)
\psline{<->}(-1,1)(2,7)
\pscurve(-1,0.5)(-0.5,1.85)(0,3)(1,4.5)(2,5)(3,4.5)(4,3)(5,0.5)(6,-3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](1,0){1} \uput[d](6,0){6} \uput[l](0,1){1} 
\uput[u](6,0){$x$}  \uput[l](0,8){$y$}
\uput[ul](0,3){A} \uput[ur](2,7){$\left(\text{T}_{\text{A}}\right)$}
\uput[ur](5.3,0){B}
\uput[d](5.5,-3.2){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Lire graphiquement : $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$, $f(5)$ et $f(6)$.
 \item Résoudre graphiquement sur $[-1~;~6]$ : $f(x)>0$ 
 \item Déterminer graphiquement : $f'(0)$ et $f'(2)$.
\end{enumerate}
\vspace{0.3cm}

\textbf{Partie B : Etude de la fonction $g = \ln f$ }\par
On étudie maintenant la fonction $g$ qui à $x$ associe $g(x) = \ln [f(x)]$.
\begin{enumerate}
 \item Préciser l'intervalle de définition I de la fonction $g$.
 \item Déterminer la limite de la fonction $g$ quand $x$ tend vers $b$.
 \item Etudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle I.
 \item Calculer $g'(0)$ puis $g'(2)$.
 \item Résoudre dans I, l'inéquation $g(x) \geqslant  -\ln 2$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage



\begin{exercice}[(4 points)]
\begin{enumerate}
 \item Trouver le plus petit entier $n$ qui vérifie : $1-0.92^n \geq 0.99$.
 \item Résoudre l'équation : $\ln(x-2)+ \ln(x+3)=\ln6$. 
 \end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(9 points)]
\textbf{Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire $g$} définie sur $[2;20]$ par \[g(x)=x-2-2 \ln (x)\]

\begin{enumerate}
 \item Etudier les variations de la fonction $g$ et dresser son tableau de variations.
 \item Montrer que la fonction $g$ s'annule exactement une fois sur $[2;20]$ ; indiquer la valeur arrondie au dixième de ce nombre. En déduire le signe de la fonction $g$ sur $[2;20]$.
\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\textbf{Partie B : Etude de la fonction $f$} définie sur $]2;20]$ par \[f(x)=\dfrac{x \ln x}{x-2}\]

Le plan est rapporté à un repère orthogonal ; $\calc$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la dérivée $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x-2)^2}$ sur $]2;20]$ ; en déduire les variations de $f$.
\item Déterminer la limite de $f$ en 2 et interpréter graphiquement ; dresser le tableau de variations de $f$.
\item Construire $\calc$ dans le repère ci-dessous.\par
\vspace{0.5cm}
\includegraphics[scale=0.8]{repere.eps}
	
\end{enumerate}
\end{exercice}




%\end{multicols}

\end{document}