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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}



\devoir{TES}{7}{3 fev 2010}{1H}
\vspace*{-0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}\par
\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[- 2~;~ 5]$, décroissante sur chacun des intervalles $[-2~;~0]$ et $[2~;~ 5]$ et croissante sur l'intervalle $[0~;~2]$. On note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[- 2~;~ 5]$.\par
La courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.  Elle passe par les points $A(- 2~;~ 9)$, $B(0~;~ 4)$, $C(1~;~4,5)$, $D(2~;~5)$ et $E(4~;~ 0)$.\par
En chacun des points $B$ et $D$, la tangente à la courbe $(\Gamma)$ est parallèle à l'axe des abscisses.\par
On note $F$ le point de coordonnées $(3~;~6)$. La droite $(CF)$ est la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point $C$.

\vspace{0.5cm}
\begin{enumerate}
\item  A l'aide des informations précédentes et du graphique, préciser :
	\begin{enumerate}
	\item les valeurs de $f(0),~f'(1)$ et $f'(2)$. 
	\item le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $[- 2~;~ 5]$. 
	\item le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$ de l'intervalle $[- 2~;~ 5]$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln (f(x))$  où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. 
	\begin{enumerate}
	\item Expliquer pourquoi la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[- 2~;~ 4[$. 
	\item Calculer $g(-2),~ g(0)$ et $g(2)$.
	\item Préciser, en le justifiant, le sens  de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~ 4[$.
	\item Déterminer la limite de la fonction $g$ lorsque $x$ tend vers $4$.\par 
	Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction $g$. 
	\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-3,-9)(6,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-9)(6,10)
\multido{\n=-3+0.25}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-9)(\n,9)}
\multido{\n=-9+0.5}{37}{\psline[linewidth=0.2pt](-3,\n)(6,\n)}
\psdots(-2,9)(0,4)(1,4.5)(2,5)(4,0)(5,-8.5)(3,6)
\psplot{-3}{6}{3 4 div  x mul 15 4 div add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.5pt]{-2}{5}{0.75 x 2 exp  mul 0.25 x 3 exp mul sub 4 add}
\uput[ur](-2,9){A} \uput[ur](0,4){B} \uput[u](1,4.5){C} 
\uput[d](2,5){D} \uput[ur](4,0){E} \uput[ul](3,6){F} \uput[dl](0,0){O}
\uput[u](6,0){$x$} \uput[l](0,10){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip
\newpage



\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 10 points}\par
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~ ;~ 20]$ par : \[f(x) = \dfrac{1}{2} x + 4 + \dfrac{3}{4} \ln (4x + 10) - 3\ln x.\] 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe ci-dessous représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.\par
\medskip

\begin{minipage}{7cm}
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(21,18) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-1,-2)(21,18) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=4]{->}(0,0)(-1,-2)(21,18) 
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.075}{20}{x 2 div 4 add x 4 mul 10 add ln 3 mul 4 div add x ln 3 mul sub}
\uput[u](15,6.6){$\mathcal{C}$}
\uput[d](21,0){$x$}\uput[l](0,17.5){$y$}
\end{pspicture}}
\end{minipage}
\begin{minipage}{12cm}
{\textbf{Partie A}} 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $0$. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ? 
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ 20]$,\\ 
$f'(x)=\dfrac{x^2 - 2x - 15}{x(2x + 5)}$.  
\item Déterminer les variations de la  fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~20]$ et dresser son tableau de variations. 
\end{enumerate}
On admet que l'équation $f(x) = 6$ possède exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ dans l'intervalle $]0~;~ 20]$ telles que $\alpha \approx 1,242$ et $\beta \approx 13,311$.
\end{minipage}
\medskip


\textbf{Partie B}\par
Une entreprise produit au maximum \nombre{20000}~objets par jour.\par
On note $x$ le nombre de milliers d'objets produits chaque jour travaillé : $x \in ] 0~;~ 20]$.\par
On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un objet est égal à $f(x)$,\par où $f$ est la fonction définie ci-dessus. 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Pour combien d'objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal ?
	\item Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime. 
	\end{enumerate}
\item Le prix de vente d'un objet est de 6~\euro. Pour quelles productions journalières l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? 
\item Déterminer le bénéfice journalier, arrondi à la centaine d'euros, pour une production de \nombre{5000}~objets par jour. 
\item L'année suivante, le coût moyen augmente de 2\:\%. Le prix de vente est alors augmenté de 2\:\%. Le bénéfice journalier reste-t-il identique ? Justifier.
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\end{enumerate}


\end{document}