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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}



\devoir{TES}{8}{24 mars 2010}{2H}


\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}\par
\textit{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}\par
Une étude sur le taux d'équipement en téléphonie des ménages d'une ville a permis d'établir\par les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item  90\:\% des ménages possèdent un téléphone fixe; 
\item  parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87\:\% ont un téléphone portable ; 
\item  80\:\% des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
\emph{Notations: Si \textup{A} et \textup{B} sont des événements, $\overline{\textup{A}}$ désigne l'événement contraire de \textup{A} et $P_{\textup{B}}(\textup{A})$ la probabilité que l'événement \textup{A} soit réalisé sachant que l'événement \textup{B} l'est.}

\medskip
On choisit un ménage au hasard et on note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item F l'événement : \og le ménage possède un téléphone fixe \fg{} ;
\item T l'événement : \og le ménage possède un téléphone portable \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Grâce aux données de l'énoncé, donner P(F $\cap$ T), P(F) et P$_{\overline{\text{F}}}$(T).
	\item Calculer P$_{\text{F}}$(T).
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que la probabilité de l'événement T est $0,887$. 
\item Sachant que le ménage choisi n'a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe ? 
\item On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages.
 
Quelle est la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un téléphone portable ? 
\end{enumerate}
\vspace{1cm}



\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}\par
Résoudre l'inéquation : \[2e^{2x}-e^{x}-1 \leq 0\]
\medskip
(poser $X=e^{x}$)
\newpage


\vspace*{1cm}
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}\par

\begin{minipage}{6cm}
La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-contre est la représentation graphique, dans un repère orthonormal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]-1~ ;~+ \infty[$. On sait que la fonction $f$ est croissante sur $]-1~ ;~ 1]$ et sur $[3~ ;~ + \infty[$ et que la droite $\mathcal{D}$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{13cm}
\begin{center}
 \psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-2)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(5,3)
\psline{<->}(-0.666,-1)(0.666,3)
\psline(3.2,-2)(5.2,3)
\psline{<->}(0.5,2)(1.5,2)
\psline{<->}(2.5,-1)(3.5,-1)
\pscurve(-0.45,-2)(-0.38,-1)(-0.24,0)(0,1)(0.23,1.5)(1,2)(1.5,1.53)(2,0.47)(2.2,0)(2.5,-0.55)(3,-1)(3.5,-0.42)(3.7,0)(4,0.6)(4.5,1.7)(5,2.8)
\uput[r](-0.4,-1.75){$\mathcal{C}$}
\uput[r](3.4,-1.6){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}\end{center}
\end{minipage}
\medskip 

\textbf{I. Etude graphique de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$ et $f(1)$, puis $f'(0)$ et $f'(1)$.
\item Résoudre, avec la précision permise par le graphique, l'inéquation $f(x) \leq 2$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{II. Etude de la fonction $g$ définie par $g(x) = \text{exp}[f(x)]$}
\begin{enumerate}
\item Quel est le domaine de définition de la fonction $g$ ?
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to+ \infty} g(x)$, puis $\displaystyle\lim_{x \to - 1} g(x)$.
\item Etudier les variations de $g$ et en dresser le tableau de variations.
\item Calculer $g'(1)$ et $g'(0)$.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}




\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}\par
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x) = xe^x-2\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $\pI$, puis en $\mI$, et donner une interprétation graphique.\par
	(on rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to \mI} xe^x =0$)
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe ; en déduire le tableau de variations de $f$.
\item Donner l'équation de la tangente $(T)$ à $\mathcal (C)$, la courbe représentative de $f$, au point d'abscisse 0.
\item Tracer $\mathcal (C)$ et $(T)$ dans un repère orthonormal d'unité 1 cm.
\end{enumerate}



\end{document}