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\newcommand{\exo}[1]{\begin{exercice}{}}
\newcommand{\finexo}{\end{exercice}}


\pagestyle{empty}
\begin{document}



\devoir{TES}{8}{26 mars 2010}{1H}



\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}\par
Le graphique ci-dessous, est celui de la courbe $\Gamma$  repr\'esentative d'une fonction $f$ d\'efinie sur $[1;\pI[$.
\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}\begin{pspicture}(0,-1)(10,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(0,-1)(10,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(10,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1)(0,4)
\psline(0,2.728)(10,2.728)
\psline(1,4)(6,-1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,0){I} \uput[ul](2,2.728){A} \uput[r](3,2){B}
\uput[u](9,2.728){$y = ~$ e} \uput[d](1,0){$\overrightarrow{\imath}$} 
\uput[l](0,1){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[u](6,2.728){T}
\uput[ur](2,3){T$'$} \uput[u](5.5,0.4){$\Gamma$}
\psplot{1}{10}{x 1 sub 2.728  3 x sub exp   mul}   
\end{pspicture}
\end{center}\par

La courbe $\Gamma$ passe par les points $I(1;0)$, $A(2;e)$ et $B(3;2)$.\par
La droite $T$ est tangente \`a $\Gamma$ au point $A$ et elle est parall\`ele  \`a l'axe des abscisses.\par
La droite $T'$ est tangente \`a $\Gamma$ en $B$ et elle passe par le point de coordonn\'ees $(5;0)$.\par
La fonction $f$ est d\'ecroissante sur $[2;\pI[$.\par
L'axe des abscisses est asymptote \`a la courbe $\Gamma$.

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide d'une lecture graphique donner les valeurs de $f(1),~ f(2),~ f(3)$, puis de $f'(2)$ et $f'(3)$.
	\item La fonction $g$ est d\'efinie par $g(x) = \text{exp}[f(x)]$
	\begin{enumerate}
	\item Quel est le domaine de définition de la fonction $g$ ?
	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to+ \infty} g(x)$ et interpréter graphiquement.
	\item Justifier les variations de $g$ et en dresser le tableau de variations.
	\item Calculer $g'(2)$ et $g'(3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip


\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}\par
Résoudre l'équation : \[2e^{2x}-3e^{x}+1 = 0\] 
\medskip
(poser $X=e^{x}$)
\medskip


\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}\par
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $[0~;~+ \infty[$ par  \[f(x)  = 2x -2 - \text{e}^{- x}.\]
\begin{enumerate} 
\item D\'eterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item D\'eterminer $f'$ d\'eriv\'ee de $f$, ainsi que le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\item \'Etablir le tableau de variations de la fonction $f$.
\item \begin{enumerate}
	\item Prouver que l'\'equation $f(x) = 0$ admet une et une seule solution $\alpha$ ; donner une valeur d\'ecimale approch\'ee de $\alpha$ \`a $10^{-1}$ pr\`es.
	\item En d\'eduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}