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%Tapuscrit : Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Stéphane Galice  
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small Baccalauréat ES  }%tapez un titre 
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small novembre 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}% 
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large \gray \decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud 
novembre 2009~\decofourright} 
\end{center} 

\bigskip
 
L'annexe est à rendre avec la copie.
 
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré.

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

\medskip
 
\emph{Le barème sera établi comme suit: pour une réponse exacte, $0,5$ point ; pour une réponse fausse ou l'absence de réponse, $0$ point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Un véhicule coûte \nombre{15000}~\euro{} en 2008. Il se déprécie de 10\:\% par an (c'est-à-dire que son prix de revente baisse de 10\:\% par an). Sa valeur à la vente au bout de cinq ans sera de :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
\nombre{7500}~\euro & \nombre{8857,35}~\euro& \nombre{5000}~\euro \\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Soit $u$ une fonction strictement positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.  

Si $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x) = 0$ alors : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln[u(x)] = + \infty$& 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln[u(x)] = - \infty$& 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln[u(x)] = 0$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  Voici la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$	&$-10$ 	&0		&10\\ \hline
$p_{i}$	&0,2	&0,3	&0,5\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

$\bullet~$ l'espérance mathématique de cette variable est $3$
 
$\bullet~$ l'espérance mathématique de cette variable est $-3$
 
$\bullet~$ l'espérance mathématique de cette variable est $0$

\medskip
 
\item  Pour tout $a > 0,~ \ln 3a - \ln a$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
$ \ln 3$&  $\ln (2a)$&  $2 \ln a$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x+1}\:\text{d}x$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}}
$\text{e}^3 - 1$&$2\text{e}^3 - 2\text{e}$&$\dfrac{\text{e}^3 - \text{e}}{2}$\\ 
\end{tabularx}

\medskip

\item  Pour tout réel $x,~ \text{e}^{4+2x}$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
$\left(\text{e}^2 \right)^{2x}$&$\left(\text{e}^{x+2} \right)^2$&$\text{e}^4 + \text{e}^{2x}$\\
\end{tabularx}

\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.
 
Une étude sur le taux d'équipement en téléphonie des ménages d'une ville a permis d'établir les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  90\:\% des ménages possèdent un téléphone fixe; 
\item  parmi les ménages ne possédant pas de téléphone fixe, 87\:\% ont un téléphone portable ; 
\item  80\:\% des ménages possèdent à la fois un téléphone fixe et un téléphone portable.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\emph{Notations: Si \textup{A} et \textup{B} sont des évènements, $\overline{\textup{A}}$ désigne l'évènement contraire de \textup{A} et $P_{\textup{B}}(\textup{A})$ la probabilité que l'évènement \textup{A} soit réalisé sachant que l'évènement \textup{B} l'est.}

\medskip
 
On choisit un ménage au hasard et on note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item F l'évènement : \og le ménage possède un téléphone fixe \fg{} ;
\item T l'évènement : \og le ménage possède un téléphone portable \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Grâce aux données de l'énoncé, donner P(F $\cap$ T), P(F) et P$_{\overline{\text{F}}}$(T).
		\item Calculer P$_{\text{F}}$(T).
\end{enumerate} 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement T est $0,887$. 
\item Sachant que le ménage choisi n'a pas de téléphone portable, quelle est la probabilité que ce soit un ménage possédant un téléphone fixe ? 
\item On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois ménages.
 
Quelle est la probabilité qu'il yen ait au plus deux ayant un téléphone portable ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + 4}{3}$. 

\begin{enumerate}
\item  Calculer $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$. 
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij (unités graphiques : 2~cm).
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2x+ 4}{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la représentation graphique $d$ de la fonction $f$ ainsi que la droite $\Delta$ d'équation $y = x$. 
		\item En utilisant $d$ et $\Delta$, construire $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. 
		\item Conjecturer $\displaystyle\lim_{n \to  \infty}  u_{n}$ à l'aide de la construction, que l'on peut imaginer, d'un grand nombre  
de termes de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que $u_{n} = 4 - 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$. 
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
  
Le tableau ci-dessous donne le chiffre d'affaires, exprimé en milliers d'euros, réalisé par une chaîne commerciale :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline% 
Rang de l'année $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline%  
Chiffre d'affaires en milliers d'euros $y_{i}$&55 &58 &64 &85 &105 &112\\ \hline% 
\end{tabularx}

\vspace{1,2cm}
 
\fbox{\textbf{Partie 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités : 2~cm pour une année en abscisse et 1~cm pour 10~milliers d'euros en ordonnée. 
\item Calculer les coordonnées du point moyen G$(x~;~y)$ et le placer sur la figure précédente.
\end{enumerate}
 
\emph{On décide d'effectuer deux ajustements successifs en vue de faire des prévisions.}
 
\medskip
 
\fbox{\textbf{Partie 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite de régression $D$ de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à $10^{-1}$ près. 
		\item Tracer cette droite sur le graphique de la partie 1.
	\end{enumerate} 
\item En supposant que l'évolution constatée se maintienne, estimer le chiffre d'affaires réalisé en 2011 (on précisera la méthode utilisée). 
\end{enumerate}

\medskip
 
\fbox{\textbf{Partie 3}}

\medskip 

On décide d'ajuster le nuage de points de la partie 1 par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant, dans le repère déjà défini, une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : 

$f(x) = ab^x$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels strictement positifs. 

\begin{enumerate}
\item On impose à la courbe représentative de la fonction $f$ de passer par les points A$(0~;~55)$ et B$(5~;~112)$.
 
Calculer les valeurs exactes de $a$ et $b$ telles que la fonction $f$ vérifie cette condition, puis donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près de $b$. 
\item Pour la suite, on considérera que $f(x) = 55 \times 1,15^x$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
Estimer grâce à ce nouvel ajustement le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, réalisé en 2011 (on arrondira le résultat au centième).
\end{enumerate}

\medskip
 
\fbox{\textbf{Partie 4}}

\medskip
 
\textbf{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Estimer en quelle année le chiffre d'affaires aura dépassé pour la première fois 300 milliers d'euros, en utilisant successivement les ajustements affine et exponentiel des parties 2 et 3. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur  l'intervalle $]0~;~+\infty[$ telles que pour tout réel $x$ de cet intervalle : 
 
\[f(x) = (x - \text{e})(\ln x - 1)\quad  	\text{et} \quad 	g(x) = \ln x - \dfrac{\text{e}}{x}\] 

La courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère du plan est donnée en annexe et l'unité graphique est 2~cm . 

\medskip
 
\fbox{\textbf{Partie 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item  Calculer $g(\text{e})$ et, grâce à la question 1, donner le signe de $g(x)$ pour tout $x$ strictement positif. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\fbox{\textbf{Partie 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item On note $f'$ la dérivée de $f$ Démontrer que $f'(x) = g(x)$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif. 
\item  Établir le tableau des variations de la fonction $f$.
 
(\emph{On y fera figurer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$}). 
\item  Représenter graphiquement la fonction $f$ sur la feuille annexe jointe au sujet.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\fbox{\textbf{Partie 3}}

\medskip 

Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ telle que pour tout réel $x$ de cet intervalle : 

\[F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} - \text{e}x\right)\ln x + 2\text{e}x - \dfrac{3}{4}x^2\] 

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On considère le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses, les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer ce domaine sur le dessin. 
		\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 
		\item En déduire une valeur approchée arrondie au centième de l'aire du domaine exprimée en cm$^2$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center} 
\textbf{Annexe à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 4 }
 \end{flushleft}
 
\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.41cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(8,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-4)(8,4.5)
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\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}