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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat ES   
  Polynésie septembre 2009~\decofourright\\  }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions ci-dessous, une et une seule affirmation est juste. Le candidat doit porter sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre associée à la réponse choisie. \textbf{Aucune justification n'est demandée.}\\ 
Une bonne réponse rapporte $1$ point, une mauvaise réponse retire $0,25$ ~point et l'absence de réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
 
On désigne par $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I =  ]- 1~;~  +\infty[$.
 
\begin{enumerate}
\item  Si la fonction $f$ vérifie que : $\displaystyle\lim_{x \to -1} f(x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$, alors: 
	\begin{enumerate}
		\item on peut affirmer que la fonction $f$ est croissante sur $I$ ; 
		\item on peut affirmer que la fonction $f$ est monotone sur $I$ ; 
		\item on ne peut pas en déduire le sens de variations de $f$ sur $I$.
	\end{enumerate} 
\item  Si $f$ est strictement croissante sur $[10~;~ +\infty[$, et si $g$ est la fonction définie par : $g(x) = \text{e}^{-f(x)}$, alors : 
	\begin{enumerate}
		\item $g$ est strictement croissante sur $[10~;~ +\infty[$ ; 
		\item on ne peut pas déterminer le sens de variations de $g$ ; 
		\item $g$ est strictement décroissante sur $[10~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item  Si $F$ est la primitive de $f$ sur $I$, qui prend la valeur $\dfrac{3}{7}$ en 1 et si $\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t = \dfrac{2}{5}$, alors :  
	\begin{enumerate}
		\item  $F(0) = \dfrac{1}{2}$ ;  
		\item  $F(0) = \dfrac{1}{35}$ ; 
		\item  on ne peut pas déterminer $F(0)$.
	\end{enumerate} 
\item  Si la fonction $u$ est définie par $u(x) = \ln [f(x)]$ alors : 
	\begin{enumerate}
		\item la fonction $u$ est définie sur $]0~ ;~ +\infty [$ ; 
		\item la fonction $u$ est définie sur $I$ ; 
		\item on ne peut pas donner le domaine de définition de la fonction $u$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne les cumuls des nombres d'entrées de cinq films sortis au cours de l'année 2006, d'une part en région parisienne, d'autre part sur la France dans son ensemble. (\emph{source: \og le film français \fg, chiffres arrêtés au $3$ avril} 2007) 

\medskip
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}m{1,5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Film&Indice $i$ ($1 \leqslant i \leqslant 5$)&
Nombres d'entrées en région parisienne en centaines de milliers: $x_{i}$&
Nombres d'entrées en France en centaines de milliers : $y_{i}$ \\ \hline 
Pirates des Caraïbes 2 &1 &10 &75 \\ \hline 
Arthur et les Minimoys&2 &9 &62 \\ \hline 
Da Vinci Code& 3 &7,5 &41,5 \\ \hline 
Ne le dis à personne&4 &6,5 &32 \\ \hline 
Indigènes &5 &5 &29,5 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)${}

 $\left(1 \leqslant i \leqslant   5\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 1~cm pour une centaine de milliers d'entrées sur l'axe des abscisses et 1~cm pour la centaines de milliers d'entrées sur l'axe des ordonnées). 
\item Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer G dans le repère précédent. 
\item Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de $\Delta$, droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients sont  arrondis au dixième). Tracer cette droite dans le repère précédent. 
\item En utilisant cette approximation affine, calculer le nombre d'entrées cumulées sur la France qu'on aurait pu prévoir pour le film \og  Les bronzés 3 \fg{} sachant qu'il en a réalisé \nombre{1140000} en région parisienne (on arrondira le résultat à la dizaine de milliers d'entrées).
\end{enumerate} 
\item La forme du nuage de points ci-dessus suggère de faire un ajustement par une courbe de type exponentiel d'équation $y = A\text{e}^{Bx}$ (où $A$ et $B$ sont des réels). Pour cela on pose d'abord $z = \ln (y)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs de $z_{i}$ arrondies à $10^{-2}${} $(1 \leqslant i \leqslant 5)$.
		
\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$& 10 &9 	&7,5 	&6,5 	&5   \\ \hline
$y_{i}$& 75 &62 &41,5 	&32 	&29,5 \\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(y_{i}\right)$&&&&&  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}  
		\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (\textit{les coefficients seront arrondis au millième}). 
		\item En utilisant la relation $z = \ln (y)$ déterminer alors les valeurs arrondies à $10^{-3}$ des réels $A$ et $B$ tels que $y = A\text{e}^{Bx}$. 
		\item  	En utilisant l'approximation $y \approx 9,689\text{e}^{0,202x}$, quel nombre d'entrées, cumulées sur la France aurait-on pu prévoir pour le film \og  Les bronzés 3 \fg{} sachant qu'il en a réalisé \nombre{1140000} en région parisienne ? On arrondira le résultat au millier d'entrées.
	\end{enumerate} 
\item Le nombre d'entrées en fin d'exploitation pour ce film sur la France a été de \nombre{10300000}.
 
Lequel des deux ajustements semble le plus approprié ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On réalise une expérience aléatoire. $A$ désigne un évènement et $\overline{A}$ son évènement contraire.

 On pose $p(A) = x$. 
\begin{enumerate}
\item  Exprimer $p\left(\overline{A}\right)$ en fonction de $x$. 
\item  Déterminer les valeurs possibles de $x$ sachant que : $p(A) \times  p\left(\overline{A}\right) = 0,24$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
La \og  Revue Spéciale d'Économie \fg{} et le \og Guide des Placements en Bourse \fg{} sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d'abonnement communs. 

On s'intéresse à l'ensemble des lecteurs de l'une ou l'autre de ces deux revues.
 
Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l'un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément.
 
Une étude a permis de constater que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 60\:\% de l'ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la « Revue Spéciale d'Économie \fg, et parmi eux $\dfrac{3}{5}$ ont aussi choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg{} ; 
\item 10\:\% des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la \og Revue Spéciale d'Économie \fg, ont souscrit l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note :
 
$A$ l'évènement : \og le lecteur a choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'Économie"~\fg{} ;
 
$B$ l'évènement : \og le lecteur a choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse"  \fg.

\medskip
 
On interroge un lecteur au hasard.
 
\begin{enumerate}
\item Déduire de l'énoncé les probabi1ités $p(A),\:p\left(\overline{A}\right)$ et $p_{\overline{A}}(B)$.
 
Reproduire et compléter l'arbre suivant : 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}}
	{\TR{$B$}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$}}
	{\TR{$B$}
	\TR{$\overline{B}$}
	}
}
\end{center}

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item Traduire par une phrase l'\'evènement $A \cap B$. Donner sa probabilit\'e.
		\item Traduire par une phrase l'\'evènement $\overline{A} \cap \overline{B}$. Donner sa probabilit\'e.
	\end{enumerate}
\item Calculer $p(B)$. En d\'eduire la probabilit\'e qu'un lecteur soit abonn\'e à la \og Revue Sp\'eciale d'Économie \fg{} sachant qu'il est abonn\'e au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
\item On interroge au hasard 3 lecteurs ind\'ependamment les uns des autres. Calculer la probabilit\'e pour qu'au moins l'un d'eux ait choisi l'abonnement au \og Guide des Placements en Bourse \fg.
 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
On considère une population donnée d'une île de Bretagne se rendant régulièrement sur le continent. Deux compagnies maritimes A et B effectuent la traversée.
 
En 2008, 60\:\% de la population voyage avec la compagnie A. Les campagnes publicitaires font évoluer cette répartition. Une enquête indique alors que chaque année 20\:\% des clients de la compagnie A l'abandonnent au profit de la compagnie B et que 10\:\% des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A.
 
Pour tout entier naturel $n$, l'état probabiliste de l'année $2008 + n$ est défini par la matrice ligne $\begin{pmatrix}
   x_n & y_n  \\  \end{pmatrix}$ où $x_{n}$ désigne la proportion de la population qui voyage avec la compagnie A et $y_{n}$ la proportion de la population qui voyage avec la compagnie B.
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 
\item Préciser l'état initial $P_{0}$ puis montrer que $P_{1} = \begin{pmatrix} 0,52 &  0,48 \\  \end{pmatrix}$. 
\item Déterminer la répartition prévisible du trafic entre les compagnies A et B en 2011. 
\item Déterminer l'état stable et l'interpréter. 
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $x_{n+1} = 0,7x_{n} + 0,1$. 
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $x_{n} = \dfrac{4}{15} \times 0,7^n + \dfrac{1}{3}$.
 
Déterminer la limite de la suite $\left(x_{n}\right)$ et l'interpréter. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
 
Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $F$ définie et dérivable sur $\left[0~;~4\right]$. On désigne par $f$ la fonction dérivée de $F$ sur l'ensemble des nombres réels $\R$. 
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par l'origine O du repère et par les points A$\left(1~;~\dfrac{5}{2}\right)$,  B$\left(3~;~\dfrac{9}{2}\right)$ et D(2~;~2).
 
La courbe $\mathcal{C}$ admet en A et en D une tangente horizontale.
 
On désigne par $T$, la tangente à $\mathcal{C}$ au point O ; cette tangente $T$ passe par le point de coordonnées (1~;~6).

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(6,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-1,-1)(6,7)
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=500,linecolor=blue]{0}{3.33}{x 3 exp  x 2 exp 4.5 mul sub 6 x mul add}
\psplot{-0.1}{1.166}{6 x mul}
\psdots[dotstyle=*](1,2.5)(2,2)(3,4.5)
\uput[u](1,2.5){A}\uput[d](2,2){D}\uput[r](3,4.5){B}\uput[r](3.2,5.5){$\mathcal{C}$}\uput[l](0.7,4.5){$T$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Que représente la fonction $F$ pour la fonction $f$ ? 
\item À partir du graphique et des données de l'énoncé, dresser le tableau de variations de $F$ sur [0~;~3].  
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement l'équation réduite de la droite $T$. 
		\item En déduire $f(0)$.
	\end{enumerate} 
\item Indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est positive. 
\item Déterminer la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$.
 
\item \emph{Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}

\medskip
 
Soit $G$ une autre fonction primitive de $f$ sur $\left[0 ; 4\right]$, telle que $G(0) = 1$.

Calculer $G(3)$. 
\end{enumerate}
 
\end{document}