\documentclass[10pt]{article}


 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

 \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
%\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}  % voir avec olivier
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
%\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }
\usepackage{tabularx}


\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...
%\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
\newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% pour faire un cours 

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\titrecours}[3]{
                           {\bf
                           {\Large
                           {\noindent Math\'{e}matiques-#2
                            \hfill Ann\'ee scolaire  $\mathbf{#3}$  
                            \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} 
                            \vspace{-1cm}
                            \begin{center}
	                    {\LARGE{#1}}
                            \end{center}
                           }
                           }
                           }
                           \vspace{-.4cm}
                           \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm}
                           }          

% les definitions, remarques, theoremes .....

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
%\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{axiome}{Axiome}
%\newtheorem*{axiome*}{Axiome}
\newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme}
\newtheorem{notation}[theoreme]{Notation}
%\newtheorem*{notation*}{Notation}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e}
%\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e}
\newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} 
%\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} 
\newtheorem{question}{\underline {Question}}
%\newtheorem*{question*}{\underline {Question}}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} 
%\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} 
\newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} 
%\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} 
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}
%\newtheorem*{remarque*}{Remarque}
%Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut.



% pour faire des compositions de limites
\newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\left.\begin{array}{l} 
#1 \\
#2 \\
#3 
\end{array} \right\} \implique #4}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
}

%demonstration, preuves...
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}
\newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xcolor}
\colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20}

\usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\SetKwInput{Lire}{Lire}
\SetKwInput{Afficher}{Afficher}

\SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables}
\newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \VarAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin}
\newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \EntrAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin}
\newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \TraitAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin}
\newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \SortAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}
\makeatletter
\newsavebox{\LFB@lgo}
\newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo
               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
                \end{minipage}%
                \end{lrbox}%
                \begin{center}
                \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
%                \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
                \end{center}}
\makeatother
\newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}}

%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\usepackage{calc}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}



\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spécial BB
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
  \usepackage{watermark}
 \definecolor{lightgray}{gray}{.60}
  
  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
%     \frenchbsetup{SuppressWarning}
     \DecimalMathComma
     
   \usepackage{lastpage}

  \usepackage[%
              pdftitle={Baccalauréat blanc de terminale S - Enseignement obligatoire},%
              pdfauthor={L.F.B.},%
              ]{hyperref}


\renewenvironment{exercice}[1][]{%
                     \refstepcounter{exercice}
                     \par
                      \vspace{2em}
                     {\bfseries {\Large Exercice \arabic{exercice}}
                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\thiswatermark{\put(230,-350){%
                   \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}OBLIGATOIRE}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large} 24 février 2015\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 7}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les quatre exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage


\begin{exercice}[4 points]
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
\medskip

Un employé se rend à son travail. S'il est à l'heure il prend le bus  de ramassage gratuit mis à  disposition par l'entreprise,
s'il est en  retard il prend le bus de la ville  et il lui en coûte 1,50 \euro.\\
Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est $0,3$ et
s'il est en retard un jour donné la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est $0,8$.\\

Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $R_n$ l'évènement \og l'employé est en retard le jour $n$ \fg. On note  $p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$.
On suppose que le premier jour l'employé est à l'heure et donc $p_{1} = 0$.\\
\medskip

Si nécessaire les résultats seront arrondis au millième.\\
\medskip
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre\index{arbre de probabilités} de probabilité,
	      et interpréter le résultat.
	\item Sachant que le salarié n'est pas en retard le troisième jour, déterminer la probabilité qu'il n'ait pas aussi été en retard le deuxième jour.
	\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate}
	\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre\index{arbre de probabilités} de probabilité donné ci-dessous
		
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{R_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
\end{center}
	\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $p_{n+1}=0,5p_n+0,3$.
	\end{enumerate}
		
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $v_n = p_n - 0.6$.
	\begin{enumerate}
	\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
	\item Exprimer  $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.
	\item Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
	\end{enumerate} 

\item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme\index{algorithme}  suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables		& K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ 
Initialisation 	&P prend la valeur $0$\\ 
				&J prend la valeur $1$\\ 
Entrée			& Saisir la valeur de K\\ 
Traitement		&Tant que P $< 0,6 - 10^{- \text{K}}$\\ 
				&\quad P prend la valeur $0,5 \times \text{P} + 0,3$\\				&\quad  J prend la valeur J $+ 1$\\ 
				&Fin tant que \\
Sortie			&Afficher J \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À quoi correspond l'affichage final J ?
 
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage



\begin{exercice}[6 points]
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé, la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, 
et la droite $(AB)$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $A(0;1)$.\\ Le point $B$ a pour coordonnées $(-1;-1)$.
\bigskip

\begin{center}  \includegraphics{./fonction.1} \end{center}
\medskip

\textbf{Partie A}\\
\medskip

En utilisant les données de l'énoncé, déterminer la valeur des réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel $x$, \[f(x) = ax + b + \dfrac{x}{\text{e}^x}\]
\bigskip

\textbf{Partie B}\\
\medskip

Pour la suite, on admet que $f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}$ pour tout réel $x$.\\
\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par \[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\]
      Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\R$.\par
      Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
      
\item En déduire le signe de $g(x)$. 
      
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$. 

\item On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Démontrer que, pour tout réel $x$, \[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\]
 
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.\\

\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$.\par
      Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.  

\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=x+1$.
      \begin{enumerate}
	\item Montrer qu'il existe une unique tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$, parallèle à $\mathcal{D}$, en un point $E$ dont on précisera les coordonnées.
	\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage


\begin{exercice}[5 points]
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
\medskip

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.\\
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait \textbf{sur une feuille de papier millimétré} et \textbf{complété au fur et à mesure des questions}.\\
\medskip
 
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe \[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. 

\item Résoudre dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$.\\
      Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.\\
      Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). 
      On laissera les traits de construction apparents. 
      
\item Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.\\
      Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées. 
      
\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie  \[|f(z) - 8| = 3.\]
      Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega$ d'affixe $-1$ et de rayon $\sqrt{3}$. \\
      Tracer (F) sur le graphique.\\
      
\item Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
 	\item On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.\\
	      Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.\\
	      Compléter le graphique en traçant ces droites.
	\end{enumerate} 
	
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F). 
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage



\begin{exercice}[5 points]
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\
\medskip

\textbf{Partie A Restitution organisée des connaissances}\\
\medskip
On rappelle que $\limite{t}{\pI} \dfrac{e^t}{t} = \pI$.\\
En effectuant un changement de variable, démontrer que $\limite{x}{\pI} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$.\\
\medskip

\textbf{Partie B}\\
\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $f(x) = x - \dfrac{\ln(x)}{x}$. \\
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$\\.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $g(x) =  x^2 -1 + \ln(x)$.\\
      Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1~;~+ \infty[$.
      
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout $x$ de $[1~;~+ \infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
	\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
	\item Justifier que $\limite{x}{\pI} f(x)-x=0$.\\
	\textit{On dit que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $\pI$.}
	\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
	
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
	\item Exprimer les coordonnées des points $M_k$ et $N_k$ en fonction de $k$.
	\item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
	\item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{document}


