\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}


\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Probabilités - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{27 janvier 2015 - 1h}  \end{center}



\exo{}{(11 pts)}\par
Max joue $n$ parties successives sur sa console de jeu.\\
On admet que la probabilité qu'il gagne la première partie est $0,1$, et que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] s'il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est $0,8$ ;
\item[$\bullet~~$] s'il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est $0,6$.
\end{itemize}
\vspace{0.3cm} 
Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on note $G_{n}$ l'évènement \og Max gagne la $n$-ième partie \fg \\ et on pose $p_{n}=p(G_{n})$.
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Construire un arbre pondéré pour les deux premières parties. 
	\item Calculer $p_2$.
	\end{enumerate} 
\vspace{0.3cm}	
\item \begin{enumerate}
	\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre\index{arbre de probabilités} de probabilité donné ci-dessous
		
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{ 	\pstree{\TR{$G_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  {   \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
	      \TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{G_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {    \TR{$G_{n+1}$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
\end{center}

	\item Montrer que, pour tout entier naturel $n\geq 1$, \[ p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,6\]. 
	\item Montrer que la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par
	      \[u_n = p_n - 0,75\]
	      est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
	\item En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$.
	\item Montrer la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. 
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. 
	\end{enumerate} 
\vspace{0.3cm}    
\item Max peut-il espérer, en jouant suffisamment longtemps, avoir trois chances sur quatre de gagner la partie ?
\end{enumerate}
\finexo
\newpage


\exo{}{(9 pts)}\par
Dans cet exercice, les résultats seront approchés à 0,000 1 près.\\
Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.\\
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont $1 \%$ est porteur de la maladie.\\
On obtient les résultats suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans $85 \%$ des cas ;
\item[$\bullet~~$] si un animal est sain, le test est négatif dans $95 \%$ des cas.
\end{itemize}
\vspace{0.3cm}
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.\\
On note les évènements :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] M : \og L'animal est porteur de maladie \fg ;
\item[$\bullet~~$] T : \og Le test est positif \fg.
\end{itemize}
\vspace{0.3cm}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
\vspace{0.3cm}

\item On choisit un animal au hasard.
      \begin{enumerate}
	\item Décrire l'évènement $M \cap T$ et calculer sa probabilité.
	\item Montrer que la probabilité pour que le test soit positif est 0,058.
	\end{enumerate}
\vspace{0.3cm}

\item Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif.\\
      Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie ?
\vspace{0.3cm}

\item On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler
      les tirages à des tirages avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis,
      associe le nombre d'animaux ayant un test positif.
      \begin{enumerate}
      \item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
      \item Quelle est la probabilité pour que deux animaux exactement aient un test positif ?
      \item Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
      \end{enumerate}
\vspace{0.3cm}

\item Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 \euro, et le coût d'abattage d'un animal est de 1 000 \euro.
      On suppose que le test est gratuit.\\
      D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager pour un animal subissant le test est donné
      par le tableau suivant : 
      \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
      \hline 
      Coût (en \euro) & 0 & 100 & 1 000\\
      \hline
      probabilité & 0,940 5 & 0,058 & 0,001 5 \\
      \hline
      \end{tabular}
      \end{center}
      \begin{enumerate}
      \item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant le coût à engager.
      \item Un éleveur possède un troupeau de 20 bêtes.\par
	    Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ?
      \end{enumerate}

\end{enumerate}
\finexo

\end{document}