\documentclass[10pt]{article}


 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=2cm,vmargin=2cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

 \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
%\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}  % voir avec olivier
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
%\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }
\usepackage{tabularx}


\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...
%\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
\newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% pour faire un cours 

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\titrecours}[3]{
                           {\bf
                           {\Large
                           {\noindent Math\'{e}matiques-#2
                            \hfill Ann\'ee scolaire  $\mathbf{#3}$  
                            \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} 
                            \vspace{-1cm}
                            \begin{center}
	                    {\LARGE{#1}}
                            \end{center}
                           }
                           }
                           }
                           \vspace{-.4cm}
                           \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm}
                           }          

% les definitions, remarques, theoremes .....

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
%\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{axiome}{Axiome}
%\newtheorem*{axiome*}{Axiome}
\newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme}
\newtheorem{notation}[theoreme]{Notation}
%\newtheorem*{notation*}{Notation}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e}
%\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e}
\newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} 
%\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} 
\newtheorem{question}{\underline {Question}}
%\newtheorem*{question*}{\underline {Question}}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} 
%\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} 
\newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} 
%\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} 
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}
%\newtheorem*{remarque*}{Remarque}
%Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut.



% pour faire des compositions de limites
\newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\left.\begin{array}{l} 
#1 \\
#2 \\
#3 
\end{array} \right\} \implique #4}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
}

%demonstration, preuves...
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}
\newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xcolor}
\colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20}

\usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\SetKwInput{Lire}{Lire}
\SetKwInput{Afficher}{Afficher}

\SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables}
\newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \VarAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin}
\newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \EntrAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin}
\newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \TraitAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin}
\newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \SortAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}
\makeatletter
\newsavebox{\LFB@lgo}
\newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo
               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
                \end{minipage}%
                \end{lrbox}%
                \begin{center}
                \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
%                \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
                \end{center}}
\makeatother
\newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}}

%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\usepackage{calc}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}



\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spécial BB
\usepackage{graphicx}
\usepackage{xcolor}
  \usepackage{watermark}
 \definecolor{lightgray}{gray}{.60}
  
  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
%     \frenchbsetup{SuppressWarning}
     \DecimalMathComma
     
   \usepackage{lastpage}
\usepackage{colortbl}
  \usepackage[%
              pdftitle={Baccalauréat blanc de terminale S - Enseignement obligatoire},%
              pdfauthor={L.F.B.},%
              ]{hyperref}


\renewenvironment{exercice}[1][]{%
                     \refstepcounter{exercice}
                     \par
                      \vspace{2em}
                     {\bfseries {\Large Exercice \arabic{exercice}}
                     \quad \hrulefill \quad #1} \par\nobreak\vspace{0.5em}
                     }{\par \vspace{.5em}
			}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\thiswatermark{\put(230,-350){%
                   \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
                   \rotatebox{45}{\color{lightgray}OBLIGATOIRE}}}}%
                   }


\vfill
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{0.8\linewidth}
\centering\begin{Huge}BACCALAURÉAT GÉNÉRAL\end{Huge}\par
\end{minipage}}


\vfill

\begin{large} 23 février 2016\end{large}

\vfill

\begin{huge}\textbf{MATHÉMATIQUES}\end{huge}

\vfill

\begin{Large}Série S\end{Large}

\vfill

\begin{large}\textbf{Durée de l'épreuve : 4 heures}

\textbf{Coefficient : 7}\end{large}

\vfill

\begin{large}\textit{Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages (y compris celle-ci) numérotées de 1 à \pageref{LastPage}}
\end{large}
\end{center}

\vfill

{\setlength{\fboxsep}{1em}
\setlength{\fboxrule}{1pt}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}
\begin{large}L'emploi des calculatrices est autorisé, dans les conditions prévues par la réglementation en vigueur.


\vspace{\baselineskip}
Le candidat doit traiter les quatre exercices.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\end{large}
\end{minipage}}}

\vfill
\newpage


\begin{exercice}[2 points]
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est $0,99$ ;
\item la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est $0,001$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

 Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à 0,1\,\%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test. 

On note $M$ l'évènement \og la personne choisie est malade\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.\index{arbre} 
		\item Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est égale à 	
$1,989 \times 10^{-3}$. 
		\item L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse. 

Affirmation : \og Si le test est positif, il y a moins d'une chance sur deux que la personne soit malade \fg.


\end{enumerate} 
\end{exercice}


\begin{exercice}[5 points]
\label{ameriquedusudnov2013}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip
 
On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par
\[z_0=1 \hspace{0.2cm} et \hspace{0.2cm} z_{n+1}=(\dfrac{3}{4}+i \dfrac{\sqrt{3}}{4})z_n\]
On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
       \item Donner la forme exponentielle de $\dfrac{3}{4}+i \dfrac{\sqrt{3}}{4}$.
       \item Montrer que pour tout $n \in \N$ on a $z_n=(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^n e^{ni\frac{\pi}{6}}$.
       \item Dans le repère orthonormé direct donné en annexe placer les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$.
       \item Pour quelles valeurs de $n$, les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
      \end{enumerate}
      
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n=|z_{n+1}-z_n|$. 
	\begin{enumerate}
	\item Vérifier que pour tout entier $n\geq1$, \[z_{n+1}-z_n=(\dfrac{3}{4}+i \dfrac{\sqrt{3}}{4})(z_n-z_{n-1})\]
	\item Déterminer la nature de la suite $(d_n)$, et en déduire une expression de $d_n$ en fonction de $n$.
	\item Donner une interprétation géométrique des nombres $d_n$.
	\end{enumerate}
	
\item On pose $L_n = A_0A_1+A_1A_2+ \cdots 	+ A_{n-1}A_n$.\\
      $L_n$ est la longueur de la ligne polygonale de sommets successifs $A_0$, $A_1$, $A_2$, $\cdots$ $A_n$.\\
      Déterminer $L_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $L_n$ quand $n$ tend vers $\pI$.

\end{enumerate}
\end{exercice}


\newpage

\begin{exercice}[5 points]
\label{centreetranger2014}
\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
 
Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du blanc au noir en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un réel $x$ de la façon suivante : 	

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $x = 0$ pour le blanc ; 
\item[$\bullet~~$] $x = 1$ pour le noir; 
\item[$\bullet~~$] $x = 0,01 \:;\: x = 0,02$ et ainsi de suite jusqu'à $x = 0,99$ par pas de $0,01$ pour toutes les nuances intermédiaires (du clair au foncé).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
L'image A, ci-après, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.
 
Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites \og fonctions de retouche \fg.
 
Une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] est dite \og fonction de retouche \fg{} si elle possède les quatre propriétés suivantes : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f(0) = 0$ ; 
\item[$\bullet~~$] $f(1) = 1$ ; 
\item[$\bullet~~$] $f$ est continue sur l'intervalle [0~;~1] ; 
\item[$\bullet~~$] $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Une nuance codée $x$ est dite assombrie par la fonction $f$ si $f(x) > x$, et éclaircie, si $f(x) < x$.
 
Ainsi, si $f(x) = x^2$, un pixel de nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée

 $0,2^2 = 0,04$. L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous. 
 
Si $f(x) = \sqrt{x}$, la nuance codée $0,2$ prendra la nuance codée $\sqrt{0,2} \approx 0,45$. L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering\arraybackslash}X}}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!20](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,20}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!40](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,40}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!60](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,60}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!80](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,80}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!4](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,04}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!16](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,16}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!36](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,36}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!64](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,64}
\end{pspicture}
&\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!45](0,1)(1,2)\rput(0.5,1.5){0,45}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!63](1,1)(2,2)\rput(1.5,1.5){0,63}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!77](0,0)(1,1)\rput(0.5,0.5){0,77}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!89](1,0)(2,1)\rput(1.5,0.5){0,89}
\end{pspicture}\\
Image A& 
Image B& 
Image C
\end{tabularx}
\end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f_{1}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{1}(x) = 4x^3 - 6x^2 + 3x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f_{1}$ est une fonction de retouche. 
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $f_{1}(x) \leqslant x$, à l'aide du graphique donné en annexe, à rendre avec la copie, en faisant apparaître les pointillés utiles. 

Interpréter ce résultat en termes d'éclaircissement ou d'assombrissement.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f_{2}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : 

\[f_{2}(x) = \ln [1 + (\text{e} - 1)x].\]
 
On admet que $f_{2}$ est une fonction de retouche. 

On définit sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $g$ par : $g(x) = f_{2}(x) - x$. 
		
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~1] : $g'(x) = \dfrac{(\text{e} - 2) - (\text{e} - 1)x}{1 + (\text{e} - 1)x}$ ;  
		\item Déterminer les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~1]. 
\index{maximum d'une fonction}
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $\dfrac{\text{e} - 2}{\text{e} - 1}$, maximum dont une valeur arrondie au centième est $0,12$. 
		\item Établir que l'équation $g(x) = 0,05$ admet sur l'intervalle [0~;~1] deux solutions $\alpha$ et $\beta$, 
avec $\alpha < \beta$.
 
On admettra que : $0,08 < \alpha < 0,09$ et que : $0,85 < \beta < 0,86$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On remarque qu'une modification de nuance n'est perceptible visuellement que si la valeur absolue de l'écart entre le code de la nuance initiale et le code de la nuance modifiée est supérieure ou égale 
à $0,05$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans l'algorithme décrit ci-dessous, $f$ désigne une fonction de retouche.
 
Quel est le rôle de cet algorithme ?\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.78\linewidth}{|l X|} \hline
\textbf{Variables :}& 	$x$ (nuance initiale)\\ 
&$y$ (nuance retouchée) \\
&$E$ (écart)\\ 
&$c$ (compteur)\\
& $k$\\ 
\textbf{Initialisation :}& 	$c$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement :}& 	Pour $k$ allant de 0 à 100, faire\\
&\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
$x$ prend la valeur $\frac{k}{100}$\\ 
$y$ prend la valeur $f(x)$\\ 
$E$ prend la valeur $|y - x|$
\end{tabular}\\
	&\hspace{2cm}\begin{tabular}{l} 
	Si $E \geqslant 0,05$, faire\\ 
\quad $c$ prend la valeur $c + 1$\\
Fin si
\end{tabular}\\ 
&Fin pour\\
\textbf{Sortie :}& Afficher $c$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item Quelle valeur affichera cet algorithme si on l'applique à la fonction $f_{2}$ définie dans la deuxième question de la \textbf{partie A} ?
\end{enumerate}
\end{exercice}
\newpage
\begin{exercice}[4 points]

% nouvelle caledonie nov 2013
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} ????????



\medskip

Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}
  		 
\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ est un entier\\ 
&$U, V, W$ sont des réels\\ 
&$K$ est un entier \\
\textbf{Début :}& Affecter $0$ à $K$\\ 
&Affecter 2 à $U$ \\
&Affecter 10 à $V$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $K + 1$ à $K$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $U$ à $W$\\ 
&\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$\\ 
&\hspace{0,6cm}	Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$	à $V$\\  
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ \\
&Afficher $V$\\ 
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
On  exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}X|}{\quad}&&\\ \hline 
1&&&\\ \hline
2&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{PARTIE  B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$. 
		\item Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.
		 
Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. 
		\item En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite. 
\item Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. 

En déduire que la limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$. 
\end{enumerate}

\end{exercice}



\newpage

\begin{exercice}[4 points]
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}



Pour tout réel $k$ strictement positif, on désigne par $f_{k}$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ telle que : 

\[f_{k}(x) = kx\text{e}^{-kx}.\]
 
On note $\mathcal{C}_{k}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal $\oij$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude du cas}~\boldmath $k = 1$\unboldmath 

\medskip

On considère donc la fonction $f_{1}$ définie sur $\R$ par 

\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x}.\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. En déduire que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote que l'on précisera. 
\item Étudier les variations de $f_{1}$ sur $\R$ puis dresser son tableau de variation sur $\R$. 
% \item Démontrer que la fonction $g_{1}$ définie et dérivable sur $\R$ telle que : 
% 
% \[g_{1}(x) = - (x + 1)\text{e}^{- x}\]
%  
% est une primitive de la fonction $f_{1}$ sur $\R$. 
% \item Étudier le signe de $f_{1}(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. 
% \item Calculer, en unité d'aire, l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 10$. 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B : Propriétés graphiques} 

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{a}$ et $\mathcal{C}_{b}$ où $a$ et $b$ sont des réels strictement positifs fixés et T la tangente à $\mathcal{C}_{b}$ au point O origine du repère.
 
\begin{center}
\psset{unit=7cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(1.4,0.65)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(-0.25,-0.19)(1.39,0.65)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{1.4}{2 x mul  2.71828 x 2 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-0.1}{1.4}{10 x mul  2.71828 x 10 mul exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.1}{1.4}{3 x mul  2.71828 x 3 mul exp div}
\psplot{-0.1}{1.4}{3 x mul}
\uput[l](0.17,0.5){$T$}\uput[dl](0.28,0.18){$\mathcal{C}_{a}$}
\uput[d](0.68,0.26){$\mathcal{C}_{b}$}
\uput[ur](0.9,0.3){$\mathcal{C}_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif, les courbes 
$\mathcal{C}_{k}$ passent par un même point.
\item  
	\begin{enumerate}
			\item Montrer que pour tout réel $k$ strictement positif et tout réel $x$ on a 
			
			\[f'_{k}(x) = k(1 - kx)\text{e}^{- kx}.\]
			 
			\item Justifier que, pour tout réel $k$ strictement positif, $f_{k}$ admet un maximum et calculer ce maximum. 
			\item En observant le graphique ci-dessus, comparer $a$ et 2. Expliquer la démarche. 
			\item Écrire une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{k}$ au point O origine du repère. 
			\item En déduire à l'aide du graphique une valeur approchée de $b$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{exercice}

\newpage

\begin{center} A RENDRE AVEC LA COPIE \end{center}
\begin{center} NOM : ............................ PRENOM : .............................. Classe : .........\end{center}

\begin{center}
\textbf{Annexe relative à l'exercice \ref{centreetranger2014}}

\textbf{Courbe représentative de la fonction}\:\boldmath $f_{1}$ \unboldmath


\psset{unit=6.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.2)(1.25,1.2) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-0.15,-0.15)(0.9,0.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.15,-0.15)(1.1,1.1)
\psframe(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 4 mul x dup mul 6 mul sub 3 x mul add}
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Annexe relative à l'exercice  \ref{ameriquedusudnov2013}}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture}(-1,-9)(17,9)
\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](\n,-9)(\n,9)}
\multido{\n=-8+2}{9}{\psline[linestyle=dashed](-0.5,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.9,-9)(17,9)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{center}


\end{document}


