\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
  \usepackage{tabularx}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
\input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº11 - Intégration - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{24 mars 2017 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(2,5 pts)} Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
$f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{(1+\text{e}^x)^3}$ sur $\R$\par
$g(x)=\dfrac{x}{4-x^2}$ sur $[-1;1]$\end
{center}
\end{multicols}
\finexo


\exo{}{(3,5 pts)} Calculer la valeur exacte des intégrales suivantes :
\begin{multicols}{2}
\[I=\int_{-1}^0 \dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}}\, dx \]
\[J=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}} (\sin x )(\cos x)^2\, dx \]
\end{multicols}
\finexo


\exo{}{(6 pts)} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
 
\textbf{Partie A}
 
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}$ et trois autres courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$ avec la tangente en leur point d'abscisse $0$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-7.5,-1)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-7.5,-1)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.5}{1.2}{x 2 add 2.71828 x 2 div exp mul}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1,4.3){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{1.2}{ x 2 mul  2.71828 x 2 div exp mul 2 sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.4,0.8){$d_{1}$}
\uput[u](-2,-3.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}&
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(1.8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(1.8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](0.9,1){$d_{2}$}
\uput[u](-2,-1.2){$\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{1}{4 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}&\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(1.8,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.5)(1.8,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.3,1){$d_{3}$}
\uput[u](1,1.2){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.9}{3.5 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul 0.5 add}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{1.5 x mul 1.5 sub}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\index{lecture graphique}

\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique, le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. 
\item On désigne par $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la courbe $\mathcal{C}$, déterminer $F'(0)$ et $F'(- 2)$. 
	\item L'une des courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$ est la courbe représentative de la fonction $F$. 
	      Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deux autres.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\newpage


\textbf{Partie B}

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

\begin{enumerate}
\item L'observation de la courbe $\mathcal{C}$ permet de conjecturer que la fonction $f$ admet un minimum. 
      \begin{enumerate}
	\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
	\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
	\end{enumerate} 
\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
	\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  
	\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\frac{1}{2}x}$.
	      Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
	\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I$.
	\end{enumerate} 
\item On donne l'algorithme ci-dessous.

\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
			&$s$ est un nombre réel.\\ 
Entrée : 	&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ 
Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
	& \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
	&Fin de boucle.\\ 
Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
	\begin{enumerate}
	\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
		
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\pscurve[linecolor=blue](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
\uput[l](0,0.25){1}
\uput[ul](0.333,0.65){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}		 
	
	\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\finexo


\newpage
\exo{}{(8 pts)} Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
On considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par $f_n(x) = x^2 \text{e}^{- 2nx}$.\\
On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.\\
On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$.

\subsubsection*{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f_1$ \unboldmath}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par \[f_1(x) = x^2\text{e}^{-2x}\]
      On admet que $f_1$ est dérivable sur $\R$ et on note $f_1'$ sa dérivée.
    \begin{enumerate}
      \item Justifier que pour tout réel $x,\: f_1'(x) = 2x\text{e}^{-2x}(1 - x)$.
      \item Étudier les variations de la fonction $f_1$ sur $\R$.
      \item Déterminer la limite de $f_1$ en $- \infty$.
      \item Vérifier que pour tout réel $x,\: f_1(x) = \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)^2$. En déduire la limite de $f_1$ en $+ \infty$.
      \end{enumerate}

\item En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu'une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$ est donnée par $F_1(x) = - \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$.
      En déduire la valeur exacte de $I_1$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B : Étude de la suite  \boldmath $\left(I_n\right)$\unboldmath}

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
    \begin{enumerate}
    \item Interpréter graphiquement la quantité $I_n$.
    \item Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite $\left(I_n\right)$. Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture.
    \end{enumerate}
    
\item \begin{enumerate}
	\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1],
	\[f_{n+1}(x) = \text{e}^{-2x}f_n(x)\]
	\item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1],
	\[f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x).\]
	\item Déterminer alors le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$.
	\end{enumerate}
	
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
	\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1],
	\[0 \leqslant  f_n(x) \leqslant  \text{e}^{-2nx}.\]
	\item En déduire un encadrement de la suite $\left(I_n\right)$, puis sa limite.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\finexo


\end{document}