\documentclass[11pt]{article}

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 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
  \usepackage{tabularx}
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  \usepackage{geometry}
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  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
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  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }7
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
\input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº13 - Espace et Fonctions - TS - C'est le dernier !}}  \end{center}
\begin{center}  \large{12 mai 2017 - 2h}  \end{center}





\exo{}{(3 pts)}
\emph{Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions indiquer la bonne réponse.
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\par
\medskip
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent des paramètres réels.\par
Le plan $(P)$ a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$.\par
\medskip
Le plan (S) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t + 2t'\\
y&=&- t - 2t'\\
z&=&- 1 - t + 3t'
\end{array}\right.$\par
\medskip
La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- 2 + t\\
y&=&- t \\
z&=&- 1 - t
\end{array}\right.$\par
\medskip 
On donne les points de l'espace $M(-1~;~2~;~3)$ et $N(1~;~-2~;~9)$.
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont sécants au point $A(- 8~;~3~;~2)$. 
	\item La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont perpendiculaires. 
	\item La droite $(D)$ est une droite du plan $(P)$. 
	\item La droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont strictement parallèles.
	\end{enumerate}
\bigskip 	
\item \begin{enumerate}
	\item La droite $(MN)$ et la droite $(D)$ sont orthogonales. 
	\item La droite $(MN)$ et la droite $(D)$ sont parallèles. 
	\item La droite $(MN)$ et la droite $(D)$ sont sécantes. 
	\item La droite $(MN)$ et la droite $(D)$ sont confondues.
	\end{enumerate}		 
\bigskip 	
\item \begin{enumerate}
	\item Les plans $(P)$ et $(S)$ sont parallèles. 
	\item La droite $(\Delta)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\y&=&- 2 - t\\z &=& -3-t \end{array}\right.$\par
	      est la droite d'intersection des plans $(P)$ et $(S)$. 
	\item Le point $M$ appartient à l'intersection des plans $(P)$ et $(S)$. 
	\item Les plans $(P)$ et $(S)$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(6 pts)} On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.\par
On considère les points $A(0~;~4~;~1)$, $B(1~;~3~;~0)$, $C(2~;~-1~;~- 2)$ et $D(7~;~- 1~;~4)$.\par
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. 
\item Soit $\Delta$ la droite passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~- 1~;~3)$. 
	\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$. 
	\item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$. 
	\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
	\item Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$.
	\end{enumerate} 
\item Soient $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$. 
	\begin{enumerate}
	\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants. 
	\item Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique\par 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-4t-2\\ 
y &=&t\\ 
z &=& 3t + 2
\end{array}\right., \:\: t \in \R$. 
	\item La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(2,5 pts)} On considère un cube $ABCDEFCH$.\par 
On note $M$ le milieu du segment $[EF]$, $N$ le point tel que $\vect{\text{AN}}  = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AE}}$
et $P$ le point tel que $\vect{CP}  = \dfrac{3}{4} \vect{CG}$.\par
\medskip
 
Construire la section du cube par le plan $(MNP)$.\par
\vspace{5cm}

\begin{center}  \includegraphics[scale=1.5]{./cube.eps} \end{center}
\finexo

\newpage
\exo{}{(8,5 pts)} Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.\par
\medskip

\textbf{Partie A :} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que :
\[
f(x) = (x + 1) \text{e}^x.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\medskip
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$ ; montrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2) \text{e}^x$.
\medskip
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B :} On définit la fonction $g_m$ sur $\R$ par :
\[
g_m(x)=x+1-m \text{e}^{-x}
\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $(O;\vect{i};\vect{j})$ du plan.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
	\item Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item On a représenté les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\text{e}}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).\par
      Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.
\medskip      
\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=x+1$ suivant les valeurs de $m$.
\medskip
\item \begin{enumerate}
	\item On appelle $D_2$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$, l'axe $(Oy)$ et la droite $x = 2$.\par
	Hachurer $D_2$ sur le graphique.
	\smallskip
	\item Dans cette question, $a$ désigne un réel positif, $D_a$ la partie du plan comprise entre $\mathcal{C}_{\text{e}}$, $\mathcal{C}_{-\text{e}}$,
	l'axe $(Oy)$ et la droite $\Delta_a$ d'équation $x = a$. On désigne par $\mathcal{A}(a)$ l'aire de cette partie du plan, exprimée en unités d'aire.\par
	Démontrer que pour tout réel $a$ positif: $\mathcal{A}(a) = 2\text{e} - 2\text{e}^{1 - a}$.\par
	En déduire la limite de $\mathcal{A}(a)$ quand $a$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-3)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-3)(5,6)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-3)(5,6)
\psplot[plotpoints=2000]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
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\psplot[plotpoints=2000]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}