\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}
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  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Fonction Exponentielle - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{16 décembre 2016 - 2h}  \end{center}


\exo{}{2 pts)} \textbf{Restitution Organisée de Connaissances}\par
\medskip
\textbf{Prérequis :} On sait que $\exp(0)=1$ et que pour tous $x$ et $y \in \R$, on a $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.\par
\medskip
Montrer par récurrence, que pour tout $n \in \N$, on a $\exp(nx)=(\exp(x))^n$, quelque soit $x \in \R$.
\finexo
\bigskip


\exo{}{(10 pts)}
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 
\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. 

\medskip

\textbf{Partie A}\par

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ par 
\[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $g$.
\item En déduire le tableau de signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
  
\textbf{Partie B}\par

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. Démontrer que, pour tout réel $x$, 
\[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\]
 
\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\R$. Démontrer que $-1 < \alpha < 0$.  
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}\par

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$  au point d'abscisse $0$.
\item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$.
\end{enumerate} 

\textbf{Partie D}\par

Nous avons vu à la partie B que $f$ s'annule en un unique réel $\alpha$ compris entre -1 et 0.

\medskip
On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables 	& $a$ réel et $k$ entier naturel \\ \hline
Entrée	 	& Saisir la valeur de $k$ \\ \hline
Initialisation  & $a$ prend la valeur -1\\ \hline
Traitement      & Tant que $f(a+10^{-k})<0$ faire\\
		       &\hspace{1,2cm} $a$ prend la valeur $a+10^{-k}$\\ 
		& Fin tant que\\ \hline
Sortie		& Afficher $a$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle valeur affiche l'algorithme ci-dessus lorsque l'on entre $k=1$ ? $k=2$ ? $k=3$ ?
\item De façon plus générale quel est le rôle de cet algorithme ?
\end{enumerate}
\finexo




\newpage
\exo{}{(5,5 pts)}\par
\medskip

\begin{minipage}{10cm}
Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière.\par
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(8.5,5.5)
\psline(1,3.679)(1,0)(8,0)
\psline(1,3.679)(1.5,4.879)
\psline(8,0)(8.5,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul  2.71828 x exp div}
\def\courbe{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div}}
\rput(0.5,1.2){\courbe}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\courbe
\psline(8,0)(1,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\textbf{Partie A : Modélisation}\par

\begin{minipage}{8cm}
Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~8]$ par 
\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\]
où $a$ et $b$ sont \textbf{deux entiers naturels}.\par
La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-contre dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.9,-0.9)(8.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(8.5,5.5)
\psline(0,3.679)(0,0)(8,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul  2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale. Déterminer $b$.
\item On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut. Déterminer $a$.
\end{enumerate}
 
 
\textbf{Partie B : Une contrainte à vérifier}\par
On admet que la fonction $f$ introduite \textbf{en Partie A} est définie pour tout réel $x \in [1~;~8]$ par $f(x)=10x\text{e}^{-x}$.

\begin{minipage}{9cm}
Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan.\par
On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses.\par
La figure suivante illustre la situation.
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-1)(8.5,5.5)
\psline(0,3.679)(0,0)(8,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8.5}{10 x mul 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=200]{2}{4}{5.412 1.353 x mul sub}
%\psplot[plotpoints=5]{0.5}{2}{5.412 1.353 x mul sub}
%\psplot[plotpoints=3]{4}{5}{5.412 1.353 x mul sub}
\psline[linestyle=dotted](0.5,4.72)(2,2.7)
\psline[linestyle=dotted](4,0)(4.72,-1)
\psarc(4,0){0.6}{124.5}{180}\rput(3.3,0.4){$\alpha$}
\psline(2,0)(2,2.7)
\psline[linestyle=dotted](2,2.7)(2,3.679)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,-0.9)
\uput[ur](2,2.7){$M$}\uput[ur](2,0){$P$}\uput[ur](4,0){$L$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés.\par
\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que , pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~8]$, $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$.\par
      Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle $[1~;~8]$.
\item Soit $x$ un réel de l'intervalle $]1~;~8]$ et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$.
\item Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?
\end{enumerate}
\finexo		 
\bigskip

\exo{}{(2,5 pts)} Soit $f_k$ la fonction définie sur $\R$ par \[f_k(x)=\text{e}^{x}-kx\] où $k$ est un réel quelconque.\par
\medskip
Existe-t-il un réel $k$ tel que l'axe des abscisses soit tangent à $\mathcal{C}_k$, la courbe représentative de la fonction $f_k$ ?\par
Si oui, déterminer $k$ ainsi que les coordonnées du point de tangence.\par
\emph{(Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation)}
\finexo


\end{document}