\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
  \usepackage{tabularx}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
\input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº9 - Calculs avec les nombres complexes - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{28 janvier 2017 - 2h}  \end{center}




\exo{}{(6 pts)} On désigne par (E) l'équation d'inconnue complexe $z$,
\[z^4 + 4z^2 + 16 = 0\]


\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$ et écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. 
\medskip      
\item On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$. 
      Calculer $a^2$ sous forme algébrique et en déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.\par
      On écrira les solutions sous forme algébrique. 
\medskip
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances} \par
      On sait que pour tout nombre complexe $z = x + \text{i}y$ où $x \in \R$ et $y \in \R$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x - \text{i} y$.
      Démontrer que : 

\begin{itemize}
\item Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,\: $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\:\cdot\:\overline{z_{2}}$. 
\item Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n,\: \overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
\end{itemize} 
\medskip
\item Montrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est aussi une solution de (E). \par
      En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions. 
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{(4 pts)}\\
\begin{minipage}{7cm}
Représenter les ensembles suivants après avoir brièvement justifié :\\
\vspace{0.2cm}
\begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect \cale_{\arabic*}= $}]
\item $\left\{ M(z) \ / \ |z-1+\i|=3 \right\}$
\vspace{0.5cm}
\item $\left\{ M(z) \ / \ |z+4+\i|=|z-\i| \right\}$
\vspace{0.5cm}
\item $\left\{ M(z) \ / \ \arg(z-1+\i)=\dfrac{\pi}{3} \ \ (2\pi) \right\}$
\vspace{0.1cm}
\item $\left\{ M(z) \ / \ \arg\left(\dfrac{z+3}{z+2-\i}\right) = \dfrac{\pi}{2} \ \ (\pi)  \right\}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center} \includegraphics{./reperensembles.1} \end{center}
\end{minipage}
\finexo


\newpage
\exo{}{(4 pts)} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.\par
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
\[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\] 
\medskip

\textbf{Partie A :} 

\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
\item Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B :} Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$.\par
On note $O'$, $A'$, $B'$ et $C'$ les points respectivement associés par $f$ aux points $O$, $A$, $B$ et $C$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$.  
\item Démontrer que les points $O$, $A$ et $B'$ sont alignés, ainsi celui les points $O$, $B$ et $A'$.
\end{enumerate}  
\finexo


\exo{}{(6 pts)} On définit, pour tout entier naturel $n$, les nombres complexes $z$ par : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
z_{0}&=& 16\\ 
z_{n+1}&=&\dfrac{1 + \text{i}}{2}z_{n},\: \text{pour tout entier naturel} \: n.
\end{array}\right.\]
 
On note $r_{n}$ le module du nombre complexe $z_{n}\: : r_{n} =\left|z_{n}\right|$.\par
Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct d'origine O, on considère les points $A_{n}$ d'affixes $z_{n}$.\par
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$.
	\medskip
	\item Placer les points $A_{1}$ et $A_{2}$ sur le graphique ci-dessous. 
	\item Écrire le nombre complexe $\dfrac{1 + \text{i}}{2}$ sous forme trigonométrique. 
	\item Démontrer que le triangle $OA_{0}A_{1}$ est isocèle et rectangle en $A_{1}$. 
	\end{enumerate}
	
\item Démontrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique, de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : est-elle convergente ?\par
      Interpréter géométriquement le résultat précédent.\par
      
\bigskip
On note $L_{n}$ la longueur de la ligne brisée qui relie le point $A_{0}$ au point $A_{n}$ en passant successivement par les points $A_{1}, A_{2},  A_{3}$,  etc. 
 
Ainsi $L_{n} = \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} A_{i}A_{i+1} =  A_{0}A_{1} + A_{1}A_{2} + \ldots + A_{n-1}A_{n}.$

\item \begin{enumerate}
	\item Démontrer que pour tout entier naturel $n \::\: A_{n}A_{n+1} = r_{n+1}$. 
	\item Donner une expression de $L_{n}$ en fonction de $n$. 
	\item Déterminer la limite éventuelle de la suite $\left(L_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(18,9) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-2.5)(18,9) 
\multido{\n=-4+2}{11}{\psline[linestyle=dashed](\n,-2.5)(\n,9)}
\multido{\n=-2+2}{6}{\psline[linestyle=dashed](-5,\n)(18,\n)}
\psdots(-4,0)(-4,4)(-2,-2)(0,-2)(16,0)
\uput[ur](16,0){$A_{0}$}\uput[ur](-4,4){$A_{3}$}\uput[ur](-4,0){$A_{4}$}
\uput[ur](-2,-2){$A_{5}$}\uput[ur](0,-2){$A_{6}$}
\uput[ur](0,0){0}
\end{pspicture}\end{center}
\finexo


\end{document}