\documentclass[11pt]{article}

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  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

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  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
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  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

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  \usepackage[np]{numprint}

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  \usepackage[frenchb]{babel}
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  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
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\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
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                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
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                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
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               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
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               \end{minipage}
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               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Exponentielle - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{18 décembre 2018 - 2h}  \end{center}



\exo{}{(3 pts)} $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.\\
Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$.\\
Le point $A(0~;~2)$ appartient à $\mathcal{C}_{1}$, et le point $B(0~;~1)$ appartient à $\mathcal{C}_{2}$.
 
\begin{enumerate}
\item Dans les trois situations, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$.
Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

\begin{multicols}{3}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-2.9)(5,11)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,8)(-2,4.4)(-1.5,2.5)(-1,1.7)(-0.75,1.6)(-0.5,1.65)(0,2)(1,3.3)(2,5.15)(3,7)(4,9) 
\uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1.5,-2.2)(-1,-0.8)(0,1)(1,1.6)(2,1.85)(3,1.95)(4,2)(4.5,1.98)
\uput[d](3,2){\red $\mathcal{C}_{2}$}
%\rput(1,10.5){Situation 1 }
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}\\
\small Situation 1
\columnbreak


\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(5,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]%(0,0)(-3,-3)(5,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-2.9)(5,11)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,8)(-2,4.4)(-1.5,2.5)(-1,1.7)(-0.75,1.6)(-0.5,1.65)(0,2)(1,3.3)(2,5.15)(3,7)(4,9) 
\uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{4.5}{x 1 add}
\uput[dr](4,5){\red $\mathcal{C}_{2}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}\\
\small Situation 2 ($\mathcal{C}_{2}$ est une droite)
\columnbreak

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-3,-1)(4.5,10)
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(-3,-3)(5,10)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-0.9)(4.5,9.99)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 2 mul 1 add  2.71828 x neg exp add} \uput[ur](-2.5,8){\blue $\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{5}{x 2 mul   2.71828 x neg exp add}
\uput[dr](3,6){\red $\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}\\
\small Situation 3
\end{multicols}

\item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A. 

\item On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.\\
      Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé. 
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{(5 pts)}\\
\begin{minipage}{9cm}
Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$\\ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}.\]
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
\psplot[linecolor=green]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
\psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
\psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
\uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
\uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$}
\uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
\uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
 \end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
	\item  Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.\\
		Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
	
\item Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.\\
      En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$.
\item Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
      En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$.\\
      (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$)
\item Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~ \mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~-3,~1$ et $2$.\\
      Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
\end{enumerate}
\finexo
\newpage


\exo{}{(4 pts)} \textbf{Partie A :} On définit la suite $\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ par
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}	&=&1\\
u_{n+1} &=&f(u_{n}),~~~~\text{avec} f(x) = x\text{e}^{- x}
\end{array}\right.\]

$f$ est définie et dérivable sur $[0~;~1]$, et on admet que $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,\: 0 \leqslant u_{n+1}  \leqslant u_{n} \leqslant 1$.
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. 
	\item On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation $f(x) = x$. \\
	      Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B :}\\
\begin{minipage}{9cm}
On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie\\ pour tout entier naturel $n$ par 
\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k= 0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}.\]
 
Compléter l'algorithme afin qu'il calcule $S_{100}$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
Déclaration des variables :\\ 
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
			$S$ et $u$ sont des nombres réels\\
			$k$ est un nombre entier
		\end{tabular}\\
Initialisation :\\ 
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
			$u$ prend la valeur \ldots \ldots\\
			$S$ prend la valeur \ldots \ldots\\
		\end{tabular}\\
Traitement :\\
\hspace{1cm}\begin{tabular}{l}
Pour $k$ variant de 1 à \ldots.\\
			\hspace{1cm}\begin{tabular}{l} 
				$u$ prend la valeur $u \times  \text{e}^{- u}$\\
				$S$ prend la valeur \ldots.\\
				\end{tabular}\\
Fin Pour\\ 
Afficher \ldots \ldots\\ 
\end{tabular}\\\hline
\end{tabular}\end{center}
\end{minipage}
\finexo

\exo{}{(8 pts)}
\textbf{Partie A :} Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$, et dresser son tableau de variations 
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $\R$ une unique solution $\alpha$.\\
	      À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
	\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B :} Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$. 
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C : (Bonus)} Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.\\

\begin{minipage}{8cm}
On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.\\
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note :\\ $M$ le point de coordonnées $(x~;~f(x))$, $P(x~;~0)$ et $Q(0~;~f(x))$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. 
\item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$ ; la tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?\\
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,3)
\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,2.9){$y$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2.5,0.3){\blue $\mathcal{C}$}
\psgrid[subgriddiv=6,gridcolor=orange,gridlabels=0](-1,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(4,3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\end{pspicture}
 \end{center}
\end{minipage}
\finexo 


\end{document}