\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº5 - Continuité - Dérivabilité - Fonction Exponentielle - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{16 décembre 2019 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(3,5 pts)}
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[  f(x)=\begin{cases}
       -2x+3 \ \ \ \ &\text{si $x < 2$}\\
       \dfrac{1}{2}x-2 & \text{si $x \geq 2$}
      \end{cases}
\]
\begin{enumerate}
 \item $f$ est-elle continue sur $\R$ ?  
 \item $f$ est dérivable sur $\R$ ?
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(8 pts)}\\

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction auxiliaire}

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par \[g(x) = (x + 2)\text{e}^{x - 4} - 2\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que la limite de $g$ en $- \infty$ vaut $- 2$. 
\item On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa dérivée.\\
      Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$. 
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$. 
\item En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$. 
\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$. 
\end{enumerate}


\textbf{Partie B : Étude de la fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = x^2 - x^2\text{e}^{x-4}\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur $\R$. 
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.\\
      Montrer que, pour tout réel $x$,\: $f' (x) = - xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A.\\
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha+2}$. 
\end{enumerate}
\finexo

\newpage
\exo{}{(2,5 pts)} Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[f_n(x)=x\text{e}^{- nx+1}\]
Montrer que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, la fonction $f_n$ admet un maximum.\\
Déterminer ce maximum.
\finexo	



\exo{}{(6 pts)}\\

\textbf{Partie A :} Soit $a$ et $b$ des nombres réels. On considère une fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
\[f(x) = \dfrac{a}{1 + \text{e}^{-bx}}.\]
La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point A(0~;~0,5).
La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A passe par le point B(10~;~1).

\begin{center}
\psset{xunit=0.675cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(20,1,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(20,1.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{1 1 2.71828 x 0.2 mul neg exp add div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{14}{x 0.05 mul 0.5 add}
\psdots(10,1)\uput[ul](10,1){B}
\uput[u](17,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Justifier que $a = 1$. On obtient alors, pour tout réel $x \geqslant 0$, \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-bx}}\]
\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.\\
      Vérifier que, pour tout réel $x \geqslant 0$, \[f'(x) = \dfrac{b\text{e}^{-bx}}{\left(1 + \text{e}^{-bx}\right)^2}\]
\item  En utilisant les données de l'énoncé, déterminer $b$.
\end{enumerate}


\textbf{Partie B :} La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une
population est modélisée par la fonction $p$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par \[p(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-0,2x}}\]

Le réel $x$ représente le temps écoulé, en année, depuis le 1\up{er} janvier 2000.\\
Le nombre $p(x)$ modélise la proportion d'individus équipés après $x$ années.\\
Ainsi, pour ce modèle, $p(0)$ est la proportion d'individus équipés au 1\up{er} janvier 2000 et $p(3,5)$ est la proportion d'individus équipés au milieu de l'année 2003.


\begin{enumerate}
\item Quelle est, pour ce modèle, la proportion d'individus équipés au 1er janvier 2010? On en donnera une valeur arrondie au centième.
\item \begin{enumerate}
	\item Déterminer le sens de variation de la fonction $p$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\item Calculer la limite de la fonction $p$ en $+\infty$.
	\item Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item  On considère que, lorsque la proportion d'individus équipés dépasse 95\,\%, le marché est saturé.\\
	Déterminer, en expliquant la démarche, l'année au cours de laquelle cela se produit.
\end{enumerate}
\finexo





\end{document}