\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
    \          \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6bis - Fonction Ln - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{11 février 2020 - 1h}  \end{center}



\exo{}{(3 pts)}  Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.\\
\medskip
 $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par $g(x) = 2x \ln (2x + 1)$
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1 :}  Sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$~~~ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} -  1}{2}$.
\item \textbf{Proposition 2 :} Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est :  $1 + \ln 4$. 
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(8 pts)} Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé $\oij$, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)(0,2)
\uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}
 
On dispose des informations suivantes :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item les points $A$, $B$ et $C$ ont pour coordonnées respectives $(1~;~0)$, $(1~;~2)$ et $(0~;~2)$ ; 
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $B$ et la droite $(BC)$ est tangente à $\mathcal{C}$ en $B$ ; 
\item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$, $f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}$. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. 
 	\item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. 
	\item En déduire les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}	
\item \begin{enumerate}
	\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0,~;~+\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$. 
	\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$ et interpréter graphiquement.
	\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(9 pts)}\\
\textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 5\ln (x + 3) - x.\]
 
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ ;\\
	      calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$. 
	\item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif on a  \[f(x) = x\left(5\frac{\ln x}{x} - 1\right) + 5 \ln \left(1 + \dfrac{3}{x}\right).\]
	      En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. 
	\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item \begin{enumerate}
	\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$ , dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
	\item Après avoir vérifié que $\alpha$ appartient à l'intervalle [14~;~15], donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
	\item En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
	 
\textbf{BONUS : Partie B :} Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} &=& 4\\ 
u_{n+1}& =& 5 \ln \left(u_{n} + 3\right) \quad \text{pour tout entier naturel }\: n \geqslant 0
\end{array}\right.\] 

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = 5 \ln (x + 3)$.\\
On a tracé dans un repère orthonormé la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $g$.
 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Construire sur l'axe des abscisses les termes $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction. 
	\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
	\item Vérifier que $g(\alpha) = \alpha$ où $\alpha$ est défini dans la partie A question 2. a. 
	\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \leqslant  u_{n} \leqslant \alpha$. 
	\item Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B. 
	\item En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha$.
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}\hline 
$u$ prend la valeur 4\\ 
Répéter Tant que $u - 14,2 < 0$\\ 
\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur de $5\ln (u + 3)$\\
Fin du Tant que\\ 
Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
	\begin{enumerate}
	\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	      Justifier que cet algorithme se termine. 
	\item Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à $5$ décimales).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\finexo



\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1,0)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(23,17)
\psplot{0}{17}{x}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{23}{x 3 add ln 5 mul}
\uput[ul](16,16){$\mathcal{D}$}\uput[dr](22,16){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}