\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº3 - Suites - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{8 novembre 2019 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(5 pts)} Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $u_n=\dfrac{3n^2-n+1}{n^2+4}$ ~~~($n \in \N)$
 \vspace{0.2cm}
 \item $u_n=\dfrac{2-\sin n}{n}$ ~~~($n \in \N^*)$
 \vspace{0.2cm}
 \item $u_n=\dfrac{4^n-3^n}{5^n}$ ~~~($n \in \N^*)$
 \vspace{0.2cm}
 \item $u_n=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+......+(\dfrac{-1}{4})^n$ ~~~($n \in \N^*)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo



\exo{}{(7 pts)} Le directeur d'une réserve marine a recensé 3 000 cétacés dans cette réserve au 1\up{er} juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en \og réserve marine\fg{} ne sera pas reconduit
si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à 2 000.\\

Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :
\begin{itemize}
\item entre le 1\up{er} juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
\item entre le 1\up{er} novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5~\% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.
\end{itemize}

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1\up{er} juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0=\np{3000}$.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $u_1 = \np{2926}$.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\np{0,95}u_n+76$.
\item \begin{enumerate}
	\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geqslant \np{1520}$.
	\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
	\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$,\: $v_n=u_n-\np{1520}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0,95} dont on précisera le premier terme.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{1480}\times\np{0,95}^n + \np{1520}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}
\item Compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à \np{2000}.
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{4cm}
$n\leftarrow 0$\\
$u\leftarrow\np{3000}$\\
Tant que \ldots\\
\phantom{xxxx}$n\leftarrow \ldots$\\
\phantom{xxxx}$u\leftarrow \ldots$\\
Fin de Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
La notation \og $\leftarrow$\fg{} correspond à une affectation de valeur, ainsi \og $n\leftarrow 0$\fg{} signifie \og Affecter à $n$ la valeur $0$\fg.
\item La réserve marine fermera-t-elle un jour~? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
\end{enumerate}
\finexo
\newpage

\exo{}{(8 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\] 
On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \\
On a tracé dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.\\

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution.\\
      On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.\\
      \begin{minipage}{6cm}
      Sur la figure, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $M_0,~M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0,~u_1$ et $u_2$.\\
      Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
      \end{minipage}
       \begin{minipage}{15cm}
      \begin{center}
\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(0,0)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\vspace{0.2cm}

\item \begin{enumerate}
	\item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\] 
	      où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2. 
	\item Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
	\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par \[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\] 
	\begin{enumerate}
	\item Calculer $S_0, \:S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près.\\
	\item \begin{minipage}{6cm}
	      Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur.
	      \end{minipage}
	      \begin{minipage}{12cm}
	\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entrée :}&$n$ un entier naturel \\
\textbf{Variables :}		&$u$ et $s$ sont des variables réelles\\ 
							&$n$ et $i$ sont des variables entières\\
\textbf{Initialisation :}	& $u$ prend la valeur 1 \\
							&$s$ prend la valeur $u$ \\
							&$i$ prend la valeur 0\\ 
							&Demander la valeur de $n$ \\
\textbf{Traitement :}& Tant que \ldots\\ 
							&Affecter à $i$ la valeur $i + 1$\\
							&Affecter à $u$ la valeur \ldots\\ 
							&Affecter à $s$ la valeur \ldots\\ 
							&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie :}			&Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}

\end{center}
\end{minipage}
	\item Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\finexo
\end{document}