\documentclass[12pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
  \usepackage{tabularx}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
%\input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Test1 - Espace - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{13 mai 2020 - 1h max}  \end{center}


Soit $ABCDEFGH$ un cube et soit $I$ le centre du carré $ADHE$, 
c'est-à-dire, le milieu de $[AH]$ et de $[ED]$. Soit $J$ un point de $[CG]$.\\
La section du cube $ABCDEFGH$ par le plan $(FIJ)$ est le quadrilatère $FKLJ$.

\begin{center}
\begin{tabular}{c c}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,5.3)(2.6,5.8)(0.5,4.7)%BCDHEF
\psline(5.6,5.3)(3.5,4.2)(3.5,1)%HGC
\psline(3.5,4.2)(0.5,4.7)%GF
\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
\psline[linestyle=dashed](0.5,4.7)(2.6,5.2)(5.6,2.7)%FKL
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.8)%%AE
\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
\uput[r](5.6,2.1){D} \uput[u](2.6,5.8){E} \uput[ul](0.5,4.7){F} 
\uput[u](3.5,4.2){G} \uput[ur](5.6,5.3){H} \uput[ur](4.1,3.95){I} 
\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[ur](2.6,5.2){K}\uput[r](5.6,2.7){L}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4.1,3.95)
\rput(3,0.3){Figure 1}
\end{pspicture}
&\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,2.7)(2.6,5.2)(0.5,4.7)%BCDLKFB
\psline(3.5,1)(3.5,2.1)(0.5,4.7)%CJF
\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.2)%%AK
\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
\uput[r](5.6,2.1){D}  \uput[ul](0.5,4.7){F} \uput[ur](2.6,5.2){K}
 \uput[ur](4.1,3.95){I} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4.1,3.95)
\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[r](5.6,2.7){L} 
\rput(3,0.3){Figure 2}
\end{pspicture}\\
\end{tabular}

\end{center}

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A};\vect{\text{AB}},\vect{\text{AD}},\vect{\text{AE}}\right)$.\\


\textbf{Partie A :} Dans cette partie, le point $J$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{2}{5}\right)$

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées du point $I$ sont $\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.

\item \begin{enumerate}
	\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(FIJ)$. 
	\item Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est : $-x + 3y + 5z - 4 = 0$.\\
      \end{enumerate}
      
\item Soit $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ et passant par $B$.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
	\item On note $M$ le point d'intersection de la droite $d$ et du plan $(FIJ)$. Mmontrer que M $\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{5}{7}\right)$.
	\end{enumerate}

\begin{minipage}{8cm}
\item \begin{enumerate}
	\item Calculer $\vect{\text{BM}} . \vect{\text{BF}}$.
	\item En déduire une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{\text{MBF}}$.
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,6.5)
%\psgrid
\pspolygon(0.5,1.5)(3.5,1)(5.6,2.1)(5.6,5.3)(2.6,5.8)(0.5,4.7)%BCDHEF
\psline(5.6,5.3)(3.5,4.2)(3.5,1)%HGC
\psline(3.5,4.2)(0.5,4.7)%GF
\psline(0.5,4.7)(3.5,2.1)(5.6,2.7)%FJL
\psline[linestyle=dashed](0.5,4.7)(2.6,5.2)(5.6,2.7)%FKL
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.5)(2.6,2.6)(5.6,2.1)%BAD
\psline[linestyle=dashed](2.6,2.6)(2.6,5.8)%%AE
\uput[ul](2.6,2.6){A} \uput[l](0.5,1.5){B} \uput[d](3.5,1){C} 
\uput[r](5.6,2.1){D} \uput[u](2.6,5.8){E} \uput[ul](0.5,4.7){F} 
\uput[u](3.5,4.2){G} \uput[ur](5.6,5.3){H} \uput[ur](4.1,3.95){I} 
\uput[dr](3.5,2.1){J} \uput[ur](2.6,5.2){K}\uput[r](2.4,4.2){M}\uput[r](5.6,2.7){L}
\psline[linestyle=dashed](0,0.786)(4,6.5)
\psline(0,0.786)(0.5,1.5)
\psline(2.8,4.786)(4,6.5)
\pswedge*(0.5,1.5){5mm}{56}{90}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](2.4,4.2)(4.1,3.95)
\rput(3,0.3){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}	


\textbf{Partie B :} Dans cette partie, $J$ est un point quelconque de $[CG]$.\\
Ses coordonnées sont donc $(1;1;a)$, où $a$ est un réel de l'intervalle $[0;1]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la section du cube par le plan (FIJ) est un parallélogramme.
\item On admet alors que $L$ $\left(0~;~ 1~;~\dfrac{a}{2}\right)$ : pour quelle(s) valeur(s) de $a$ le quadrilatère FKLJ est-il un losange ?
\end{enumerate}




\end{document}