\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
  \usepackage{tabularx}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
%\input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Test3 - Fonctions - TS}}  \end{center}
\begin{center}  \large{21 mai 2020 - 1h10}  \end{center}



\textbf{Partie A :} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = (a x + b)\text{e}^{- \frac{1}{2}x},\] 
où $a$ et $b$ désignent deux nombres réels. On admet que cette fonction est dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$\\
et on note $f'$ sa fonction dérivée. Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est tracée ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(11,2.5)
\psaxes[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0,0)(11,2.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.7}{x 1 add 2.71828 0.5 x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 1 et admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de $f(0)$ et $f'(1)$. 
\item Démontrer que, pour tout réel positif $x$,\: $f'(x) = \left(- \frac{1}{2}ax - \frac{1}{2}b + a\right) \text{e}^{- \frac{1}{2}x}$. 
\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par
\[f(x) = (x + 1)\text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\] 

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f(x) = 2\left(\dfrac{\frac{1}{2}x}{\text{e}^{\frac{1}{2}x}}\right) + \text{e}^{- \frac{1}{2}x}$. 
	\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$, 
	\end{enumerate}
\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$ et construire son tableau de variations. 
\item  Démontrer que l'équation $f(x) = 0,07$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
\item  Donner l'arrondi de $\alpha$ à l'unité. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Modélisation d'un tas de sable}\\

Dans cette partie, on considère que la courbe de la fonction $f$ modélise le profil d'un tas de sable. La longueur $x$ et la hauteur $f(x)$ sont exprimées en mètres. \\
Ainsi, le fait que $f(0) = 1$ signifie qu'à son extrémité gauche, la hauteur du tas de sable est de 1 mètre. \\
On souhaite que le tas de sable soit limité par deux murs comme indiqué sur le schéma ci-dessous. \\
Le mur de gauche coincide avec l'axe des ordonnées et le mur de droite est placé de telle sorte que la hauteur de sable à cet endroit est de $7$~cm. 


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(11,2.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](0,0)(-0.5,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray](10,0)(10.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.2pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-0.7,0)(11,2.5)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{10}{x 1 add 2.71828 0.5 x mul exp div}
\psplot{10}{0}{0}}
\psline{<->}(0,-0.15)(1.8,-0.15) \uput[d](0.9,-0.15){$x$}
\psline{<->}(1.8,0)(1.8,1.17) \uput[r](1.8,0.59){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pourquoi le mur de droite doit-il être placé à environ $10$ mètres du mur de gauche ? 
\item Vérifier que la fonction $G$ définie sur [0~;~10] par $G(x) = (-2x - 4 )\text{e}^{-\frac{1}{2}x}$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur [0~;~10] par $g(x) = x \text{e}^{-\frac{1}{2}x}$. 
\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
\item Pour pouvoir créer un terrain de sport sur sable, on décide de niveler le tas de sable, c'est-à-dire de l'étaler à une même hauteur entre les deux murs. \\
      Quelle sera la hauteur du tas de sable une fois le nivellement réalisé ?\\
      Expliquer le raisonnement et arrondir le résultat au centimètre. 
\end{enumerate}



\end{document}