\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº4 - Fonction Exponentielle - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{3 décembre 2020 - 1h}  \end{center}


\exo{}{(8 pts)} On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ par \[f(x) = (2x+1)\text{e}^{-2x}+3\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $[-2~;~4]$.
\item Dresser le tableau de variations de $f$.
\item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$ sur $[-2~;~4]$. Montrer que \[f''(x)=(8x-4) \text{e}^{-2x}\]
\item Étudier le signe de $f''$ et en déduire la convexité de $f$. 
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.\\
        La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.
\end{enumerate} 
\finexo



\exo{}{(12 pts)} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[f(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x + 1}.\]

On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère  orthonormé.

\begin{center}

\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-8,-3)(14,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-3)(14,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-8,-3)(14,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{14}{2.71828 x exp  2 mul 2.71828 x exp 1 add div}
\uput[d](13.5,2){\red $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ en $\mI$ et interpréter graphiquement le résultat.\\
\item Montrer que la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$.\\
\item Calculer $f'(x)$, $f'$ étant la fonction dérivée de $f$, et donner les variations de la fonction $f$ sur $\R$.\\
\item Déterminer l'équation de $(T)$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A(0~;~1)$.\\
\item On veut étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $(T)$.
    \begin{enumerate}
     \item Montrer que $f(x)-(\dfrac{1}{2}x+1)=\dfrac{g(x)}{2(\text{e}^x+1)}$ où $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2\text{e}^x-x\text{e}^x-x-2$.
     \item On admet que $g$ est deux fois dérivable sur $\R$. avec $g'(x)=\text{e}^x-x\text{e}^x-1$ et $g''(x)=-x\text{e}^x$.   
        \begin{enumerate}
       \item Déterminer le signe de $g''(x)$ et en déduire les variations de la fonction $g'$.
       \item Déterminer le signe de $g'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $g$.
       \item Calculer $g(0)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $\R$.
      \end{enumerate}
     \item Déduire des questions précédentes la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $(T)$.\\
            Que peut-on dire du point $A$ ?
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo



\end{document}
