\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº5 - Fonction Ln - Primitives - Equations différentielles - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{14 janvier 2021 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(9,5 pts)} On considère l'équation notée $(E) : \ln x = -x$.\\
Le but de l'exercice est de prouver que l'équation $(E)$ admet une solution unique notée $\alpha$ appartenant à $]0~;~+\infty[$, et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. 

\begin{center}\textbf{Partie A : Existence et unicité de la solution}\end{center}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x + \ln x\] 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.\\

\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.\\

\item Vérifier que $\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B : Encadrement de la solution} \boldmath$\alpha$ \end{center}
 
On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$ 
 
\begin{enumerate}
\item Étude de quelques propriétés de la fonction $g$
	\begin{enumerate}
	\item Etudier les limites de $g(x)$ en $0$ et en $\pI$.\\
	
    \item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
    
	\item Démontrer qu'un nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ est solution de l'équation $(E)$\\
	si et seulement si $g(x) = x$.
	\end{enumerate}
	
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le sens de variation de la fonction $g$, démontrer par récurrence que\\
		pour tout entier naturel $n,~\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$.\\
		
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
	\end{enumerate}
	
\item \textbf{Bonus :} Recherche d'une valeur approchée de $\alpha$

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{10}$, arrondie à $10^{-6}$.\\
		
		\item On admet que $u_{10}$ est une valeur approchée par défaut à $5 \times 10^{-4}$ près \mbox{de $\alpha$.}\\
		En déduire un encadrement de $\alpha$ sous la forme $u \leqslant  \alpha \leqslant  v$,\\
		où $u$ et $v$ sont deux décimaux écrits avec trois décimales.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(3,5 pts)} Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $f(x)=x^2+2+\dfrac{1}{x^3}$ sur $]0;\pI[$
 \vspace{0.4cm}
 \item $g(x)=x(x^2-1)^3$ sur $\R$
 \vspace{0.4cm}
 \item $h(x)=\text{e}^{-3x}$ sur $\R$
 \vspace{0.4cm}
 \item $k(x)=\dfrac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+3}}$ sur $[-1;1]$
 \vspace{0.4cm}
 \item $j(x)=\dfrac{1}{3x+1}$ sur $]\dfrac{-1}{3};\pI[$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo


\exo{}{(9 pts)}\\
\begin{minipage}{10cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.15]{photo.eps} \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
Une équipe de biologistes cherche à étudier\\ l'évolution d'une population de petits rongeurs.
\end{minipage}

\begin{enumerate}
 \item Elle étudie d'abord en laboratoire l'évolution d'une population qui compte initialement 50 individus.\\
 La taille de la population $t$ années après le début de l'expérience est notée $f(t)$ et exprimée en centaines d'individus. On peut montrer que la fonction $f$ est solution, sur l'intervalle $[0;\pI[$, de l'équation différentielle :
 
 \[ (E_1) : y'=\dfrac{y}{4} ~~~~ \text{avec} ~~~ f(0)=0,5\]
 
    \begin{enumerate}
     \item Déterminer l'expression de $f(t)$.\\
     
     \item Déterminer le sens de variation de $f$, puis la limite de $f(t)$ en $\pI$, et interpréter les résultats obtenus.\\
     \item Au bout de combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs ?
     \end{enumerate}
     
 \item En réalité, dans le milieu naturel où évolue ce petit rongeur, un prédateur limite la croissance de la population.\\
 On note $g(t)$ le nombre de rongeurs, en centaines d'individus vivants $t$ années après le début de l'étude.\\
 Pour modéliser l'évolution de cette population, les scientifiques ont utilisé un modèle dit de Verhulst et on admet que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle, appelée \textbf{équation logistique} :
 \[ (E_2) : y'=\dfrac{y}{4}-\dfrac{y^2}{12}~~~ \text{avec} ~~~ g(0)=20\]
 
    \begin{enumerate}
     \item On supose que, pour tout réel positif $t$, on a $g(t)>0$.\\
     On définit la fonction $h$ sur $[0;\pI[$ par $h=\dfrac{1}{g}$.\\
     Montrer que que $g$ est solution de $(E_2)$ si et seulement si $h$ est solution de l'équation différentielle :
     \[ (E_3) : y'=-\dfrac{1}{4}y+\dfrac{1}{12}\]
     
     \item Donner toutes les solutions de l'équation $(E_3)$ et en déduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de $g$.\\
     
     \item Déterminer le sens de variation de $g$, puis la limite de $g(t)$ en $\pI$ et interpréter les résultats obtenus.
    \end{enumerate}


\end{enumerate}

\finexo



\end{document}
