\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº6 - Géométrie dans l'Espace - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{4 février 2021 - 1h}  \end{center}


\exo{}{(10 pts)}\\ 

\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(7,7)
\pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} 
\uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H} 
\psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG
\psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD
\psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR
\uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(1.3,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.5,1.1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0.5)(0.7,0.7)
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{Dans l'espace, on considère un cube $ABCDEFGH$ de centre $\Omega$ et d'arête de longueur $6$. 

Les points $P$, $Q$ et $R$ sont définis par : 

\[\vect{\text{AP}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AQ}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{AE}} \: \text{et}\: \vect{\text{HR}} =  \dfrac{1}{3}\vect{\text{HE}}.\] 

Dans tout ce qui suit on utilise le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},\vect{k}\right)$ avec : 

\[\vect{\imath} = \dfrac{1}{6}\vect{\text{AB}},\: \vect{\jmath} = \dfrac{1}{6}\vect{\text{AD}}\:\: \text{et}\:\: \vect{k} =\dfrac{1}{6}\vect{\text{AE}}.\] 

Dans ce repère, on a par exemple: 


\[\text{B}(6~;~0~;~0),\: \text{F}(6~;~0~;~6)\: \text{et }\: \text{R}(0~;~4~;~6).\] }

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Donner, sans justifier, les coordonnées des points $P$, $Q$ et $\Omega$.
		\item Montrer que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.
		\item Déterminer les nombres réels $b$ et $c$ tels que $\vect{n}(1~;~b~;~c)$ soit un vecteur normal au plan $(PQR)$ . 
		\item En déduire qu'une équation du plan $(PQR)$ est : $x - y+ z - 2 = 0$. 
	\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}	
\item \begin{enumerate}
		\item On note $\Delta$ la droite perpendiculaire au plan $(PQR)$ passant par le point $\Omega$, centre du cube.\\
                Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$. 
		\item En déduire que la droite $\Delta$ coupe le plan $(PQR)$ au point $I$ de coordonnées $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{10}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right)$.
		\item  Calculer la distance $\Omega I$.
	\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}		
\item On considère les points $J(6~;~4~;~0)$ et $K(6~;~6~;~2)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point $J$ appartient au plan $(PQR)$. 
		\item Vérifier que les droites $(JK)$ et $(QR)$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}		
Bonus : Sur la figure donnée ci-dessous,  tracer la section du cube par le plan $(PQR)$. 	
\end{enumerate}
\finexo


\begin{center}
\psset{unit=1.3cm,linewidth=1.3pt}
\begin{pspicture}(7,7)
\pspolygon(0.5,0.5)(5.3,0.5)(6.5,1.7)(6.5,6.5)(1.7,6.5)(0.5,5.3) %ABCGHEA
\uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](5.3,0.5){B} \uput[r](6.5,1.7){C} \uput[ur](1.7,1.7){D} 
\uput[l](0.5,5.3){E} \uput[r](5.3,5.3){F} \uput[ur](6.5,6.5){G} \uput[u](1.7,6.5){H} 
\psline(5.3,0.5)(5.3,5.3)(6.5,6.5)%BFG
\psline(5.3,5.3)(0.5,5.3) %FE
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(1.7,1.7)(1.7,6.5)%ADH
\psline[linestyle=dashed](6.5,1.7)(1.7,1.7)%CD
\psdots(2.1,0.5)(0.5,2.1)(1.3,6.1)%PQR
\uput[d](2.1,0.5){P}\uput[l](0.5,2.1){Q}\uput[ul](1.3,6.1){R}
\end{pspicture}
\end{center}




\newpage
\exo{}{(10 pts)} Justifier si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé de l'espace, on note $d$ la droite dont une représentation paramétrique est : 
\[ 
d :\;\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -1 + t\\
y &=& \phantom{-}2 - t\\
z &=&\phantom{-}3 + t
\end{array}\right.\;\; (t \in \R)\]

On note $d'$ la droite passant par le point $B(4;4;- 6)$ et de vecteur directeur $\vect{v}(5;2; -9)$.\\

\vspace{0.2cm}
\textbf{Affirmation 1} : \og Les droites $d$ et $d'$ sont coplanaires. \fg\\

\vspace{0.2cm}
\item Dans un repère de l'espace, on donne les points $A(0;1;-1)$, $B(2;1;;3)$, $C(-3;-1;1)$ et $D(7;3;-1)$.\\

\vspace{0.2cm}
\textbf{Affirmation 2} : \og Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.\fg\\

\vspace{0.2cm}
\item  Dans un repère de l'espace, soit $d$ la droite passant par le point $A(-3;7;-12)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(1;-2;5)$.\\
        Soit $d'$ la droite ayant pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&2t-1\\
y &=& -4t + 3\\
z &=&10t - 2 .

\end{array}\right.,\:\: (t \in \R)$\\

\vspace{0.2cm}
\textbf{Affirmation 3} : \og Les droites $d$ et $d'$ sont confondues.\fg \\
\vspace{0.2cm}

\item  On considère un cube $ABCDEFGH$. L'espace est muni du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$

\parbox{0.55\linewidth}{Une représentation paramétrique de la droite $(AG)$ est 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&t\\
y&=&t\\
z&=&t
\end{array}\right.\:\: (t \in \R)$\\


On considère un point $M$ de la droite $(AG)$.}\hfill
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psline(0.7,0.6)(3.8,0.4)(5.5,1)(5.5,4.5)(3.8,3.9)(0.7,4.1)(2.4,4.7)(5.5,4.5)%ABCGFEHG
\psline(0.7,0.6)(0.7,4.1)%AE
\psline(3.8,0.4)(3.8,3.9)%BF
\psline[linestyle=dashed](0.7,0.6)(2.4,1.2)(2.4,4.7)%ADH
\psline[linestyle=dashed](2.4,1.2)(5.5,1)%DC
\uput[d](0.7,0.6){A} \uput[d](3.8,0.4){B} \uput[r](5.5,1){C} \uput[d](2.4,1.2){D} 
\uput[ul](0.7,4.1){E} \uput[u](3.8,3.9){F} \uput[u](5.5,4.5){G} \uput[u](2.4,4.7){H}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{0}{6}{39 x mul 48 div 1.5 48 div add}
\uput[u](3,2.469){$M$}
\psline(2.4,1.2)(3,2.469)(3.8,0.4)
\psline(3.1,2.2)(3,1.93)(2.84,2.195)
\end{pspicture}}

\vspace{0.2cm}

\textbf{Affirmation 4} : \og Il y a exactement deux positions du point $M$ sur la droite $(AG)$ telles que les droites $(MB)$ et $(MD)$ soient orthogonales.\fg
\end{enumerate}
\finexo



\end{document}
