\documentclass[11pt]{article}

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 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
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  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
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  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}


%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}
\newcommand{\calv}{\mathscr{V}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº7 - Fonctions - Géométrie dans l'Espace - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{24 février 2021 - 2 h}  \end{center}

\vspace{0.2cm}
On traitera \textbf{au choix} l'exercice 1 ou l'exercice 2.
\exo{}{(10 pts)} Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0; \pI[$ par \[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}\]
On note $\calc_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
 \item \begin{enumerate}
        \item Préciser la limite de la fonction $f$ en $\pI$.
        \item Justifier que l’axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\calc_f$.
       \end{enumerate}
       
\vspace{0.2cm}      
\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0; \pI[$, on a : $f'(x) = \dfrac{\text{e}^x (x-1)}{x^2}$,\\
où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.

\vspace{0.2cm}
\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; \pI[$.\\
On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites.

\vspace{0.2cm}
\item Soit $m$ un nombre réel.\\
Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l’équation $f(x) = m$.

\vspace{0.2cm}
\item On note $\Delta$ la droite d’équation $y = -x$.\\
On note $A$ un éventuel point de $\calc_f$ d’abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $\calc_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    \begin{enumerate}
     \item Montrer que $a$ est solution de l’équation $\text{e}^x (x - 1) + x^2 = 0$.\\
     
     On note $g$ la fonction définie sur $[0; \pI[$ par $g(x) = \text{e}^x (x - 1) + x^2$.\\
    On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g'$ sa fonction dérivée.
        \vspace{0.1cm}
        \item  Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0; \pI[$, puis dresser le tableau de variations de $g$.
        \item Montrer qu’il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\calc_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{(10 pts)} \textbf{Partie I : Étude d’une fonction auxiliaire}\\

Soit $g$ la fonction définie sur $]0; \pI[$ par \[g(x) = \ln (x) + 2x - 2\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en $\pI$ et en $0$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $]0; \pI[$.
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0; \pI[$.
\item Calculer $g(1)$ puis déterminer le signe de $g$ sur $]0; \pI[$.
\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\textbf{Partie II : Étude d'une fonction f}\\

On considère la fonction $f$, définie sur $]0; \pI[$ par \[f(x) = (2 - \dfrac{1}{x}) (\ln (x) - 1)\]
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0; \pI[$ et on note $f'$ sa dérivée.\\
        Démontrer que, pour tout $x$ de $]0; \pI[$, on a : $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
        \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0; \pI[$. (les limites ne sont pas demandées)
        \end{enumerate}
\item Résoudre l‘équation $f(x) = 0$ sur $]0; \pI[$ puis dresser le tableau de signes de $f$ sur l’intervalle $]0; \pI[$.
\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}


\textbf{Partie III : Étude d’une fonction F admettant pour dérivée la fonction f}\\

On admet qu’il existe une fonction $F$ dérivable sur $]0; \pI[$ dont la dérivée $F$ est la fonction $f$.\\
Ainsi, on a : $F' = f$.\\
On note $\calc_F$ la courbe représentative de la fonction $F$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.\\
On ne cherchera pas à déterminer une expression de $F(x)$.

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $F$ sur $]0 ; \pI[$.
\item La courbe représentative $\calc_F$ admet-elle des tangentes parallèles à l’axe des
abscisses ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\finexo

\newpage
\exo{}{(10 pts)}
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points :\\ $A$ de coordonnées $(2;0;0)$, $B$ de coordonnées $(0;3;0)$ et $C$ de coordonnées $(0;0;1)$.

\begin{center}  \includegraphics[scale=0.7]{espace.eps} \end{center}


\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
        \item En utilisant un produit scalaire, donner une valeur arrondie de l'angle $\widehat{BAC}$ au degré.
        \item Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $C$ ?
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

L’objectif de la suite de l'exercice est de calculer l’aire du triangle $ABC$.

 \begin{enumerate}[resume*]
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que le vecteur $\vect{n} (3;2;6)$ est normal au plan $(ABC)$.
  \vspace{0.1cm} 
  \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $3x + 2y + 6z - 6 = 0$.
  \end{enumerate}

\vspace{0.3cm}   
\item On note $d$ la droite passant par $O$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
  \vspace{0.1cm} 
  \item Montrer que la droite $d$ coupe le plan $(ABC)$ au point $H$ de coordonnées $(\frac{18}{49};\frac{12}{49};\frac{36}{49})$.
  \vspace{0.1cm} 
  \item Calculer la distance $OH$.
  \end{enumerate}
  
\vspace{0.3cm}  
\item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par : $\calv=\dfrac{1}{3}\calb h$,\\
où $\calb$ est l'aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.\\
En calculant de deux façons différentes le volume de la pyramide $OABC$, déterminer l'aire du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}
