\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}


%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}
\newcommand{\calv}{\mathscr{V}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº8 - Dénombrement - Loi Binomiale - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{15 mars 2021 - 1 h}  \end{center}


\exo{}{(8 pts)} \textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à \boldmath$\np{0,0001}$\unboldmath~ près.}

\medskip
 
Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle.
 
Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 1\,\% est porteur de la maladie. 

On obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85\,\% des cas ; 
\item[$\bullet~$] si un animal est sain, le test est négatif dans 95\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie.\\ 
On note :

\setlength\parindent{15mm}
\begin{description}
\item[ ] M l'évènement : \og l'animal est porteur de la maladie \fg{} ;
\item[ ] T l'évènement : \og le test est positif \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 
\item Un animal est choisi au hasard. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? 
		\item  Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est $0,058$.
 	\end{enumerate} 
\item Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il soit porteur de la maladie ? 
\item On choisit cinq animaux au hasard. La taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d'assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d'animaux ayant un test positif. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
		\item Quelle est la probabilité qu'un seul des cinq animaux ait un test positif ?
		\item Quelle est la probabilité pour qu'au moins un des cinq animaux ait un test positif ?
	\end{enumerate} 
\item Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100~euros et le coût de l'abattage d'un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de \np{1000}~euros. On suppose que le test est gratuit.
 
D'après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :\\

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Coût& $0$& 100 &\np{1000}\\ \hline 
Probabilité &\np{0,9405} &\np{0,0580} &\np{0,0015}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. 
		\item Un éleveur possède un troupeau de 200~bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doit-il prévoir d'engager ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo

\exo{}{(4 pts)} Une urne contient des boules indiscernables au toucher.\\
20\,\% des boules portent le numéro 1 et sont rouges.\\
Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10\,\% sont rouges et les autres sont vertes.
 
\begin{enumerate}
\item On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ? 
\item On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge.
 
Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est égale à $\dfrac{2}{7}$. 
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
 
On effectue $n$ tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne). 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $n$ la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages. 
		\item Déterminer l'entier $n$ à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des $n$ tirages est supérieure ou égale à $0,99$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(8 pts)} On a placé dans une boîte, 15 jetons numérotés de 1 à 15 dont 3 jetons blancs, 6 rouges, 4 verts et 2 noirs tous indiscernables au toucher.


\begin{enumerate}
\item On tire au hasard simultanément 6 jetons de cette boîte.
\begin{enumerate}
\item Combien de tirages possibles y a-t-il ?
\item Combien de tirages possibles y a-t-il comprenant 6 jetons rouges ?
\item Combien de tirages possibles y a-t-il comprenant 2 jetons blancs et 4 jetons verts ?
\item Combien de tirages possibles y a-t-il comprenant 2 jetons rouges et 1 jeton noir ?

\end{enumerate}

\item On tire au hasard successivement et sans remise 6 jetons de cette boîte.
\begin{enumerate}
\item Combien de tirages possibles y a-t-il ?
\item Combien de tirages possibles y a-t-il  permettant d'obtenir \textbf{dans cet ordre} 1 jeton rouge puis 1 jeton noir puis 1 jeton rouge puis 1 jeton vert puis un jeton blanc puis un jeton rouge ?
\item En déduire le nombre de tirages possibles permettant d'obtenir 3 jetons rouges, 1 jeton noir, 1 jeton vert et 1 jeton blanc ?
\end{enumerate}

\item On tire au hasard successivement et avec remise 6 jetons de cette boîte.
\begin{enumerate}
\item Combien de tirages possibles y a-t-il ?
\item Combien de tirages possibles y a-t-il ne comprenant que des jetons noirs ?
\item Combien de tirages possibles y a-t-il comprenant au moins un jeton vert ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\finexo
\end{document}
