\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº3 - Suites et Fonctions - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{13 octobre 2022 - 2h}  \end{center}






\exo{}{(10 pts)} Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.\\

\textbf{Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse}\\
Après une première injection de 1 mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.\\
On estime que, toutes les $30$~minutes, l'organisme du patient élimine 10\,\% de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.\\

On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant :\\
pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.
\medskip
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$.
\medskip
\item \begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n,\: u_n \leqslant  u_{n+1} < 5$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang
du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.
	\begin{enumerate}
	\begin{minipage}{9cm}
    \item Compléter le script écrit en langage Python ci-contre de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.
	\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\texttt{\textbf{def} efficace():}\\
\quad \texttt{u=1}\\
\quad \texttt{n=0}\\
\quad \texttt{\textbf{while} \ldots\ldots :}\\
\quad\qquad \texttt{u=\ldots\ldots}\\
\quad\qquad \texttt{n = n+1}\\
\quad \texttt{\textbf{ return }n}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}


	\item Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5 - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$.
		\item Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg.\\	
        D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse}\\
Après une injection initiale de $1$~mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.\\
Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure.

La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$,\\
définie sur $[0~;~ +\infty[$, par  \[f(t) = 2,5 - 1,5\text{e}^{-0,2t},\]

où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.\\
On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$~mg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le médicament est-il réellement efficace au bout de 3~h 45~min ?
\medskip
\item Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.
\medskip
\item Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A.
\end{enumerate}
\finexo

\newpage
\exo{}{(4 pts)} Déterminer la limite de chaque fonction à l'endroit indiqué,\par
et préciser l'asymptote s'il y a lieu.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}]
                 
\item $\dfrac{5x+3}{2x-1}$ ; \quad en $\dfrac{1}{2}$
\vspace{1cm}
%\item $\sqrt{\dfrac{4x^2}{x^2+1}}$ ; \quad en $\pI$ 
%\vspace{1cm} 
\item $ \dfrac{\cos x}{2x}$ ; \quad en $\mI$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\finexo

\bigskip
\exo{}{(8 pts)}\par
\medskip
\textbf{Partie A :} Soit $P(x)=x^3+x^2-x-1$ définie sur $\R$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que 1 est racine de $P$.
 \medskip
 \item Déterminer alors les réels $a$, $b$ et $c$ réels, tels que $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B :} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x)=\dfrac{1}{x^2-x+1}\]
et soit $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vect{i},\vect{j})$ du plan.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $\pI$ et en $\mI$ ; que peut-on en déduire graphiquement ?
 \medskip
 \item Calculer $f'$, la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$, puis dressser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
 \medskip
 \item \begin{enumerate}
        \item Montrer que la tangente $\mathcal{T}_{B}$ à la courbe $C_f$ au point $B$ d'abscisse -1 pour équation $y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}$.
        \item Etudier la position relative de la droite $\mathcal{T}_{B}$ et de la courbe $C_f$, en utilisant la Partie A.
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\finexo
\bigskip





\exo{}{(Bonus)} Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier
cette réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\begin{enumerate}
\item  Soit une suite $\left(v_n\right)$.\\
\textbf{Affirmation A :} Si pour tout entier naturel $n$ supérieur à 1, on a $- 1 - \dfrac{1}{n} \leqslant  v_n \leqslant  1 + \dfrac{1}{n}$,\\
alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.
\bigskip

\item  \textbf{Affirmation B :} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $(8 \times 1 + 3) + (8 \times 2 + 3) + \ldots + (8 \times n + 3) = n( 4n + 7)$.
\medskip

\item  Soit $\left(w_n\right)$ une suite convergente.\\
\textbf{Affirmation C :} Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont strictement positifs,\\
alors la limite de la suite $\left(w_n\right)$ est aussi strictement positive.
\end{enumerate}
\finexo





\end{document}
