\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº5 - Continuité, dérivabilité et Convexité - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{24 novembre 2022 - 2h}  \end{center}



\exo{}{(4 pts)} Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[ f(x)=
\begin{cases}
x^2 \ \ \ &\text{si $x ~ \leq ~ 1$}\\
\\
-x^3+2 \ & \text{si $x ~ > ~ 1$}
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
 \item La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
 \item La fonction $f$ est-elle dérivable sur $\R$ ?\\
 (aide : on donne $1-x^3=(1-x)(1-x+x^2)$)
\end{enumerate}
\finexo




\exo{}{(6,5 pts)} Soit $(u_n)$ la suite définie par :
\[\left\{\begin{array}{l}
u_0=1\\
u_{n+1}=\sqrt{u_n+3} \quad \text{pour tout } n\in \N
\end{array}
\right. \]
On note $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+3}$.


\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$.
\smallskip
\item Résoudre l'équation $f(x)=x$ sur $[0;+\infty[$.
\smallskip
\item Montrer que pour tout $n\in \N$ on a $1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 3$.
\smallskip
\item Justifier la convergence de la suite $(u_n)$, puis déterminer sa limite.
\end{enumerate}
\finexo


\newpage
\exo{}{(Amérique du Nord mai 2022 - 9,5 pts)}\\

\textbf{Partie A :} Soit $p$ la fonction définie sur l'intervalle $[-3~;~4]$ par :
\[p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de la fonction $p$ sur l'intervalle $[-3~;~4]$.
\smallskip
\item Justifier que l'équation $p(x) = 0$ admet dans l'intervalle $[-3~;~4]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$.
\smallskip
\item Déterminer un encadrement du réel $\alpha$ au centième près.
\smallskip
\item Donner le tableau de signes de la fonction $p$ sur l'intervalle $[-3~;~4]$. 
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B :} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-3~;~4]$ par :
\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x^2}\]
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-3~;~4]$.
		\smallskip
		\item Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.
	\end{enumerate}
\smallskip	
\item  Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe $\mathcal{C}_f$ comme profil d'un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.
\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-4,-1.95)(4.25,4.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-4,0)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-0)(4.25,4.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{4}{2.71828 x exp x dup mul 1 add div}
\rput(0,-1){Représentation de la courbe $\mathcal{C}_f$}
\uput[ul](3,2){\blue \small $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.95)(4.25,4.1)
%\psgrid
\def\tobo{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-3}{4}{2.71828 x exp x dup mul 1 add div}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-3}{4}{2.71828 x exp x dup mul 1 add div}
\rput(-0.6,0.6){\tobo}
\psline(-3,0)(-3.6,0.6)\psline(4,3.2)(3.4,3.8)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{4}{2.71828 x exp x dup mul 1 add div}
\psline(4,3.2)(4,0)(-2,0)}
\rput(0,-1){Vue de profil du toboggan}
\end{pspicture}
\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
		\smallskip
		\item On admet que la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, a pour expression pour tout réel $x \in [-3~;~4]$ :
		\[f''(x) = \dfrac{p(x)(x - 1)\text{e}^x}{\left(1 + x^2\right)^3}\]
        où $p$ est la fonction définie dans la partie A.\\
        Etudier la convexité de la fonction $f$.
        \smallskip
        \item Répondre à la question : \og le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? \fg. Justifier.
	\end{enumerate}
	
	
\item (Bonus)} Montrer que la fonction $f''$ a pour expression pour tout réel $x \in [-3~;~4]$ :
\[f''(x) = \dfrac{p(x)(x - 1)\text{e}^x}{\left(1 + x^2\right)^3}\]
\finexo


\exo{}{(Bonus)} \textbf{Etude d'une famille de fonctions}\\
Soit $n$ un entier naturel non nul et $f_n$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[f_n(x) = x^n(1-x)\]
Etudier suivant la parité de $n$		
\begin{enumerate}		
\item la limite de $f_n$ en $\mI$		
\item la limite de $f_n$ en $\pI$
\item les variations de $f_n$ sur $\R$	
\item le nombre de solutions de l'équation $f_n(x)=1$	
\end{enumerate}        
\finexo





\end{document}
