\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº10 - Fonction Ln - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{1 mars 2023 - 1h}  \end{center}



\exo{}{(Sujet Calédonie 27 oct 2022 - 10 pts)}\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = x \ln (x) - x - 2.\]

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = $e.
		\item Etudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ ;\\ en déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la tangente $T$.
	\end{enumerate}

\medskip	
\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}

\medskip
\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ au dixième.
		\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\medskip	
\item On considère la fonction \texttt{seuil} suivante écrite dans le langage Python :

On rappelle que la fonction \texttt{log} du module \texttt{math} désigne la fonction logarithme népérien ln.\\

\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|} \hline
\texttt{def}& \texttt{seuil(pas) :}\\
&\texttt{x=4.3}\\
&\texttt{while x*log (x) - x - 2 < 0:}\\
&\quad \texttt{x=x+pas}\\
&\texttt{return x}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction \texttt{seuil(0.01)} ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{minipage}


\end{enumerate}
\finexo


\exo{}{(Amérique du Nord 19 mai 2022 - Bonus)}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Chaque réponse est à justifer.}\\

\textbf{Question 1 :} Le réel $a$ défini par $a = \ln (9) + \ln \left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)  + \ln \left(\dfrac19 \right)$ est égal à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$1 - \dfrac12 \ln (3)$&\textbf{b.~~} $\dfrac12 \ln (3)$&\textbf{c.~~} $3 \ln (3) + \dfrac12$ &\textbf{d.~~} $- \dfrac12 \ln (3)$
\end{tabularx}
\end{center}
 
\medskip

\textbf{Question 2 :} On note $(E)$ l'équation suivante $\ln x + \ln (x - 10) = \ln 3 + \ln 7$ d'inconnue le réel $x$.

\medskip
\textbf{a.~~}3 est solution de $(E)$.

\textbf{b.~~}$5 - \sqrt{46}$ est solution de $(E)$.

\textbf{c.~~}L'équation $(E)$ admet une unique solution réelle.

\textbf{d.~~}L'équation $(E)$ admet deux solutions réelles.

\medskip

\textbf{Question 3 :} La fonction $f$ est définie sur $]0~;~+ \infty[$ par l'expression $f(x) = x^2(- 1 + \ln x)$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

\textbf{a.~~} Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \: $f'(x) = 2x + \dfrac1x$.

\textbf{b.~~}La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\textbf{c.~~}$f'\left(\sqrt{\text{e}} \right)$ est différent de $0$.

\textbf{d.~~}La droite d'équation $y = - \dfrac12 \text{e}$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$.
\finexo



\exo{}{(Métropole sept 2022 - Bonus)}\\
Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:

\[f_k(x) = kx - x \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k = \text{e}^{k- 1}$.
\smallskip
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k = y_k$.
\end{enumerate}
\finexo

\end{document}
