\documentclass[11pt]{article}

 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
 % \usepackage{fourier}

  \usepackage[svgnames]{xcolor}
 \usepackage{variations}
  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
    \usepackage{tabularx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}

%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }

\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }



\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\usepackage{calc}

%-------------- extension professor desiree :
%\usepackage[xcas]{pro-tablor}

\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}


\RequirePackage{enumitem}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
\setitemize{nolistsep}

\newenvironment{colenumerate}[2][]%
               {\let\olditem\item
                \let\item\myitem
                \setcounter{c@lonne}{0}
                \setcounter{colg@uche}{1}
                \setcounter{ligh@ut}{1}
                \setcounter{nbc@l}{#2}
               \newcommand{\c@lenumfinitem}{\par\vspace{0.5\parsep}
                            \setcounter{c@litem}{\value{\@enumctr}}
                            \end{enumerate}\strut
                             \end{minipage}%
                             }
                \newcommand{\c@lenumdebitem}{\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
                             \addtocounter{c@litem}{1}
                             \strut\begin{enumerate}[#1,start=\value{c@litem}]
                            }
               \par
               \vspace{-\baselineskip}
               \setlength{\l@rgcol}{(\linewidth-\parindent)/#2}
               \noindent\begin{minipage}[c]{\l@rgcol}
               \strut\begin{enumerate}[#1]
               }%
               {\vspace{0.5\parsep}\end{enumerate}\strut
               \end{minipage}
               \par\vspace{-\baselineskip}
               }


%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}

% \input{tabvar}
\pagestyle{empty} 

\begin{document}

%\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 11 (30 mn)}{}{Classe de seconde 4}{25 avril 2012}
\begin{center} \textbf{\large{Devoir nº8 - Ln, Exp, Suites, primitives - TSpé maths}}  \end{center}
\begin{center}  \large{26 janvier 2023 - 2h}  \end{center}


\exo{}{(4 pts)} \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}

\item La fonction $x \longmapsto \ln (x)$ admet pour primitive sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X} }
\textbf{a.~~}$x \longmapsto \ln (x)$&\textbf{b.~~}$x \longmapsto \dfrac{1}{x}$&\textbf{c.~~}$x \longmapsto x \ln (x) - x$&\textbf{d.~~}$x \longmapsto \dfrac{\ln (x)}{x}$
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie  pour tout $n$ dans $\N$ par : \[a_n = \dfrac{1 - 3^n}{1 + 2^n}.\]

La limite de la suite $\left(a_n\right)$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X} }
\textbf{a.~~}$- \infty$&\textbf{b.~~}$- 1$&\textbf{c.~~}$1$&\textbf{d.~~}$+ \infty$
\end{tabularx}
\end{center}

\item Si $H$ est une primitive d'une fonction $h$ définie et continue sur $\R$, et si $k$ est la fonction définie sur $\R$ par $k(x) = h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\R$ par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $K(x) =H(2x)$&\textbf{b.~~}$K(x) =2H(2x)$&\textbf{c.~~} $ K(x) =\dfrac{1}{2}H(2x)$&\textbf{d.~~}$K(x) =2H(x)$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}
\end{tabularx}
\end{center}


\item On donne ci-dessous la représentation graphique de $f'$ fonction dérivée d'une fonction $f$ définie sur [0~;~7].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-4.5)(7.5,1.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgriddiv=5,subgridwidth=0.1pt](-1,-4.5)(7.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.95,-4.5)(7.5,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{2 x sub x 5 sub mul 0.4 mul 2.71828 x 0.25 mul exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le tableau de variation de $f$  sur l'intervalle [0~;~7] est :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.15,0.9){0}\uput[u](3.25,0.9){3,25}\uput[u](5.3,0.9){7}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.4,0.2)(3,0.8)\psline{->}(3.5,0.8)(5.2,0.2)
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.15,0.9){0}\uput[u](2.5,0.9){2}\uput[u](4,0.9){5}\uput[u](5.3,0.9){7}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.2,0.8)(2.3,0.2)\psline{->}(2.7,0.2)(3.8,0.8)\psline{->}(4.2,0.8)(5.3,0.2)
\end{pspicture}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.15,0.9){0}\uput[u](2.5,0.9){2}\uput[u](4,0.9){5}\uput[u](5.3,0.9){7}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.2,0.2)(2.3,0.8)\psline{->}(2.7,0.8)(3.8,0.2)\psline{->}(4.2,0.2)(5.3,0.8)
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(5.5,1.5)
\psframe(5.5,1.5)
\psline(0,1)(5.5,1)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.15,0.9){0}\uput[u](3.25,0.9){2}\uput[u](5.3,0.9){7}
\rput(0.5,0.5){$f(x)$}
\psline{->}(1.4,0.2)(3,0.8)\psline{->}(3.5,0.8)(5.2,0.2)
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\finexo

\newpage
\exo{}{(7,5 pts)}\\

\textbf{Partie A :} Soit la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par \[f(x) = x - \ln(x^2+1)\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
\vspace{0.2cm}
\item Résoudre l'équation $f(x)=x$.
\end{enumerate}


\textbf{Partie B :} Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
\[\left\{\begin{array}{r c l}
u_0		&=&1\\
u_{n+1} &=&u_n-\ln (u_n^2+1) ~~\text{pour tout entier naturel $n$, c'est-à-dire~}  u_{n+1} = f(u_n)
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n$, on a $0 \leq u_{n+1} \leq u_n \leq 1$.
	\item Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente, et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

\item On considère l'algorithme suivant :\\
On rappelle que la fonction \texttt{log} du module \texttt{math} désigne la fonction logarithme népérien ln.\\

\begin{minipage}{10cm}
\begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{algo.eps}\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
Expliquer le rôle du programme
\end{minipage}

\end{enumerate}
\finexo



\exo{}{(8,5 pts)} On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par
\[f(x) = (2x+1)\text{e}^{-2x}+3.\]
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$, en $\pI$ et en $\mI$.
\vspace{0.2cm} 
\item Calculer $f'$, la fonction dérivée de $f$, et dresser le tableau de variations de $f$.
\vspace{0.2cm}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\R$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
\vspace{0.2cm}
\item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. On admet que \[f''(x)=(8x-4)\text{e}^{-2x}.\]
        Étudier le signe de $f''$ sur $\R$, et en déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe. 
\vspace{0.2cm}	 
\item On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = (2x + 1)\text{e}^{- 2x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(x)=(ax+b)\text{e}^{-2x}$ soit une primitive de la fonction $g$.
		\item En déduire une primitive $F$ de $f$.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \finexo

\end{document}
